Analyse de l'exercice : Modélisation médicamenteuse par les suites

L'exercice 3 du sujet Asie 2025 (Sujet 1) propose une application classique des mathématiques au domaine médical. Il s'agit de modéliser la concentration d'un médicament dans l'organisme via une suite arithmético-géométrique. Ce type de problème est fréquent au baccalauréat car il permet d'évaluer la capacité des élèves à manipuler des outils analytiques dans un contexte concret.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs volets du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :

• Le raisonnement par récurrence : C'est la pierre angulaire de la partie A. L'élève doit être capable de structurer rigoureusement sa démonstration (initialisation, hérédité, conclusion) pour valider la formule explicite de la suite $u_n$. Une attention particulière doit être portée aux indices et aux manipulations algébriques des puissances.
• Calcul de limites et interprétation : L'exercice demande de déterminer la limite d'une suite géométrique de raison $0,8$ (comprise entre -1 et 1). Au-delà du calcul, l'interprétation concrète (la quantité de médicament se stabilise-t-elle ?) est essentielle pour obtenir tous les points.
• Résolution d'inéquations avec exposants : Pour trouver le seuil de prises de médicament, il faut résoudre une inéquation où l'inconnue est en exposant. L'utilisation du logarithme népérien est souvent l'outil privilégié, bien que l'utilisation de la calculatrice ou d'essais successifs puisse parfois être acceptée selon la consigne, à condition d'être rigoureusement justifiée par la monotonie.
• Gestion des sommes de termes : La partie B introduit une suite $S_n$ représentant une moyenne. La clé de la réussite réside ici dans la capacité à utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique pour simplifier l'expression de $S_n$. C'est une compétence technique qui demande de la précision.
• Algorithmique et Python : La dernière partie requiert une lecture attentive d'un script Python. Il ne s'agit pas d'écrire du code, mais de comprendre la logique d'une boucle while. L'élève doit lier les variables informatiques ($s$, $n$) aux suites mathématiques définies précédemment pour prédire le résultat de la fonction.

En résumé, cet exercice complet teste la rigueur rédactionnelle et l'agilité calculatoire. Il ne présente pas de piège majeur mais demande une bonne aisance avec les propriétés des suites géométriques et leur comportement asymptotique.