Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités et Statistiques au Basket-ball

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2025, issu du Sujet 2 d'Amérique du Nord, propose une étude classique mais complète des probabilités discrètes. Il est divisé en deux parties indépendantes qui mobilisent des compétences fondamentales du programme de Terminale : la modélisation par une loi binomiale et l'application des inégalités de concentration.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs notions clés :

• Identifier un schéma de Bernoulli : Dans la partie A, il est essentiel de reconnaître la répétition d'expériences aléatoires identiques et indépendantes (les lancers) pour justifier l'utilisation de la loi binomiale. Les paramètres $n$ (nombre d'essais) et $p$ (probabilité de succès) doivent être explicitement cités.
• Calculs de probabilités et calculatrice : Les questions demandent de calculer des probabilités ponctuelles $P(N=k)$ et cumulées $P(N \leqslant k)$. Une bonne maîtrise des commandes de la calculatrice est indispensable pour obtenir les valeurs numériques rapidement, sans erreurs d'arrondi.
• Transformation affine de variables aléatoires : L'exercice introduit une variable $T$ dépendant linéairement de $N$ (le nombre de points par rapport au nombre de paniers). L'élève doit savoir utiliser la propriété de linéarité de l'espérance : $E(aX + b) = aE(X) + b$.
• Somme de variables aléatoires indépendantes : La partie B change d'échelle en s'intéressant à une moyenne sur un grand nombre de matchs. Il faut connaître les formules reliant l'espérance et la variance d'une somme (ou d'une moyenne) de variables indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d) à celles de la variable d'origine.
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : C'est le point technique majeur de la seconde partie. L'exercice guide le candidat vers l'utilisation de cette inégalité pour majorer une probabilité d'écart à la moyenne. Il faut être capable de passer de la forme $|M_n - E| \geqslant \delta$ à la majoration par $\frac{V(M_n)}{\delta^2}$.
• Interprétation et résolution d'inéquations : La dernière question demande de déterminer l'existence d'un rang $n$ pour satisfaire une condition de probabilité. Cela nécessite de manipuler l'inégalité pour isoler $n$, faisant ainsi le lien avec la Loi des Grands Nombres.

Cet exercice constitue un excellent entraînement pour vérifier la compréhension des lois de probabilités usuelles et des théorèmes limites, des notions centrales pour la poursuite d'études supérieures scientifiques.