Analyse de l'Exercice 4 : Probabilités et Optimisation de Gain

Cet exercice du Baccalauréat 2022, issu du sujet 2 des Centres Étrangers, est un classique incontournable pour les élèves de Terminale Spécialité Mathématiques. Il aborde le thème des probabilités conditionnelles et des variables aléatoires dans un contexte de jeu de hasard avec une urne. L'originalité de ce problème réside dans l'intégration d'une dimension algébrique (étude de polynôme) au sein d'un raisonnement probabiliste.

Le sujet se découpe en trois parties distinctes : une modélisation initiale simple, une généralisation avec une inconnue $N$ menant à une étude de fonction, et enfin une répétition d'expériences modélisée par une loi binomiale.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme :

• Modélisation par arbre pondéré : La première étape consiste à savoir traduire un énoncé (tirages successifs avec remise) par un arbre de probabilités. C'est la base pour calculer les probabilités d'événements élémentaires. Attention à bien noter que le tirage est avec remise, ce qui assure l'indépendance des tirages successifs.
• Variable aléatoire et Loi de probabilité : L'élève doit être capable d'associer une variable aléatoire $X$ aux gains algébriques (positifs ou négatifs) du jeu. Il faut dresser un tableau de la loi de probabilité en calculant la probabilité de chaque issue (deux blancs, deux noirs, ou couleurs différentes).
• Calcul et étude de l'Espérance : La notion de jeu "favorable" est directement liée au signe de l'espérance mathématique $E(X)$. Ici, la difficulté augmente car le nombre de boules noires $N$ est inconnu. L'espérance s'exprime alors comme une fonction rationnelle de $N$.
• Lien avec l'Algèbre (Second degré) : L'étude du signe de l'espérance ou sa maximisation nécessite de résoudre une inéquation du second degré ($-x^2 + 30x - 81 > 0$). Une bonne maîtrise du discriminant $\Delta$ et du signe du trinôme est indispensable pour déterminer le nombre de jetons noirs requis.
• La Loi Binomiale : La dernière partie de l'exercice change d'échelle en considérant 10 joueurs indépendants. Il faut immédiatement identifier un schéma de Bernoulli (succès/échec) répété de manière indépendante. Le calcul de la probabilité "au moins un gagnant" se traite classiquement par l'événement contraire (aucun gagnant).

En résumé, cet exercice est un excellent test de synthèse car il demande de jongler entre le raisonnement probabiliste pur et la technique algébrique de résolution d'inéquations.