Analyse du sujet et enjeux

Cet exercice de mathématiques, tiré du Baccalauréat 2022 (Centre Madagascar, Sujet 2), est un classique incontournable pour les élèves de Terminale. Il aborde les piliers du chapitre sur les probabilités : de la modélisation simple par un arbre pondéré jusqu'à l'utilisation de variables aléatoires discrètes suivant une loi binomiale. Le contexte concret d'une étude statistique en entreprise permet d'appliquer les formules mathématiques à des situations réelles d'échantillonnage.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales :

• Construction et lecture d'un arbre pondéré : La première étape consiste à traduire les pourcentages de l'énoncé en probabilités. Il est crucial de distinguer les probabilités simples (choisir un homme ou une femme) des probabilités conditionnelles (être cadre sachant que c'est une femme).
• Formule des probabilités totales : Pour calculer la probabilité globale qu'une personne soit cadre, l'élève doit savoir sommer les probabilités des intersections correspondantes (Femme et Cadre + Homme et Cadre).
• Indépendance des évènements : Une question classique demande de vérifier si deux évènements sont indépendants. La clé est de comparer le produit des probabilités marginales $P(F) \times P(C)$ avec la probabilité de l'intersection $P(F \cap C)$.
• Loi binomiale : La seconde partie de l'exercice bascule sur un schéma de Bernoulli répété. Il faut savoir justifier l'usage de la loi binomiale (tirage avec remise, épreuves identiques et indépendantes) et identifier ses paramètres $n$ et $p$.
• Calculs sur la loi binomiale : Le calcul de $P(X \le 1)$ nécessite de décomposer l'événement en $P(X=0) + P(X=1)$.
• Recherche de seuil (inéquation) : La dernière question demande de déterminer une taille d'échantillon $n$ pour atteindre une certaine probabilité. C'est une résolution type utilisant l'événement contraire (aucun cadre) et souvent le logarithme népérien pour isoler l'inconnue en exposant.

Cet exercice constitue un excellent entraînement pour vérifier la solidité des acquis sur les probabilités conditionnelles et la manipulation des variables aléatoires, des notions systématiquement présentes lors des épreuves finales.