Analyse de l'exercice de géométrie dans l'espace - Bac 2022 Madagascar Sujet 2

Cet exercice de géométrie dans l'espace, tiré du sujet 2 du Baccalauréat 2022 (centre Madagascar), est un classique des épreuves de spécialité mathématiques. Il s'appuie sur la structure familière d'un cube pour explorer à la fois des propriétés géométriques pures et leur traduction analytique dans un repère orthonormé. L'objectif est de vérifier la maîtrise des concepts d'orthogonalité, de caractérisation des plans et droites, ainsi que le calcul de distances et de volumes.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent mobiliser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Terminale :

• Vision dans l'espace et repérage : La première étape consiste à bien identifier les coordonnées des sommets du cube dans le repère fourni. Une erreur à ce stade peut compromettre tous les calculs suivants. Il est crucial de savoir lire un repère défini par des vecteurs unitaires liés aux arêtes du cube.
• Démonstration de l'orthogonalité : L'exercice commence par des questions de raisonnement géométrique. L'élève doit être capable de prouver que deux droites sont perpendiculaires ou qu'une droite est orthogonale à un plan. Cela nécessite souvent de montrer que le vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan, en utilisant le produit scalaire nul.
• Équations cartésiennes et paramétriques : Le cœur analytique du problème réside dans la capacité à passer d'une description géométrique à une équation algébrique.
  • Savoir déterminer un vecteur normal pour déduire l'équation cartésienne d'un plan (de type ax + by + cz + d = 0).
  • Savoir établir la représentation paramétrique d'une droite connaissant un point et un vecteur directeur.
• Intersection et projection orthogonale : Une compétence technique importante est la résolution de systèmes d'équations pour trouver le point d'intersection entre une droite et un plan. Cela mène naturellement à la notion de projeté orthogonal, point clé pour calculer la distance d'un point à un plan.
• Calcul de volume : La dernière partie requiert l'application de la formule du volume d'un tétraèdre. La difficulté réside souvent dans le choix judicieux de la base et de la hauteur correspondante pour simplifier les calculs. Ici, l'utilisation de la distance calculée précédemment est un indice fort sur la méthode attendue.

En résumé, cet exercice demande une rigueur constante dans les calculs de coordonnées et une bonne compréhension des liens entre vecteurs, droites et plans. C'est un excellent entraînement pour structurer un raisonnement géométrique complet.