Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, tiré du Baccalauréat 2022 (Amérique du Nord, Sujet 2), propose une modélisation concrète d'une installation artistique dans une salle en forme de pavé droit. L'objectif est de mobiliser l'ensemble des outils vectoriels pour résoudre des problèmes d'angles, d'intersection et d'orthogonalité.

1. Calculs vectoriels et angles

La première partie demande de maîtriser les bases du calcul vectoriel dans un repère orthonormé. Les candidats doivent savoir :

• Calculer les coordonnées de vecteurs et les distances pour démontrer la nature d'un triangle (ici isocèle).
• Calculer un produit scalaire à partir des coordonnées pour en déduire la mesure d'un angle géométrique (formule utilisant le cosinus).

2. Plans et vecteurs normaux

Une compétence classique est testée ensuite : le passage du vecteur normal à l'équation cartésienne. Il faut être capable de justifier qu'un vecteur est normal à un plan (en vérifiant l'orthogonalité avec deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan) et d'en déduire l'équation de la forme ax + by + cz + d = 0.

3. Droites, plans et intersections

L'exercice introduit une droite définie par une condition d'orthogonalité à un plan. Les points clés incluent :

• Établir une représentation paramétrique d'une droite passant par un point et dirigée par un vecteur (ici, le vecteur normal au plan précédemment trouvé).
• Déterminer les coordonnées du point d'intersection entre cette droite et le plan en résolvant le système formé par l'équation paramétrique de la droite et l'équation cartésienne du plan.

4. Modélisation et optimisation

La dernière partie fait appel à la notion de point mobile sur un segment, paramétré par une variable réelle t. Pour réussir cette question, il faut savoir traduire l'appartenance d'un point à un segment via une combinaison linéaire de vecteurs (ou barycentre) et résoudre une équation d'orthogonalité (produit scalaire nul) pour trouver la position exacte correspondant à une configuration géométrique précise (rayons perpendiculaires).