Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, extrait du sujet 2 du Baccalauréat 2022 en Polynésie, est un classique incontournable pour les élèves de Terminale spécialité Mathématiques. Il mobilise une double approche, analytique et géométrique, pour résoudre un problème de distance dans un cube.

Approche analytique : coordonnées et équations

La première partie de l'exercice repose sur l'utilisation d'un repère orthonormé associé au cube. Pour réussir cette partie, le candidat doit maîtriser parfaitement :

• Le repérage dans l'espace : Savoir déterminer les coordonnées des sommets d'un cube et de points remarquables (milieux, centres de faces) est la première étape cruciale. Une erreur ici se répercutera sur tout l'exercice.
• L'orthogonalité : Il faut être capable de démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan. La méthode standard consiste à prouver que le vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (souvent via le produit scalaire).
• Les équations de plans et de droites : L'élève doit savoir vérifier une équation cartésienne de plan (de type ax + by + cz + d = 0) et établir une représentation paramétrique d'une droite passant par un point et dirigée par un vecteur.
• La projection orthogonale : Trouver les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan demande de savoir calculer l'intersection entre la droite (définie par sa représentation paramétrique) et le plan (défini par son équation cartésienne). C'est la clé pour déduire ensuite la distance point-plan.

Approche géométrique : calculs de volumes

La seconde méthode proposée permet de vérifier la cohérence des résultats par des considérations géométriques pures. Les compétences sollicitées sont :

• L'identification des hauteurs et des bases : Dans un tétraèdre, il est essentiel de savoir identifier quelle arête ou segment joue le rôle de hauteur pour une base donnée, en s'appuyant sur les propriétés du cube (angles droits).
• Le calcul de volumes : La formule du volume d'une pyramide ($V = \frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$) est centrale. L'exercice invite à calculer ce volume de deux manières différentes.
• Le raisonnement par déduction : La méthode des "deux volumes" est une technique élégante et fréquente au Bac. Elle consiste à égaler deux expressions du volume du même tétraèdre (une facile à calculer, l'autre impliquant la distance inconnue) pour isoler et déterminer la distance recherchée (ici, la hauteur issue d'un sommet spécifique).

En résumé, cet exercice est un excellent entraînement car il relie l'algèbre linéaire (systèmes d'équations, vecteurs) à la vision dans l'espace. La rigueur dans les calculs de coordonnées et la capacité à visualiser les orthogonales sont les facteurs déterminants de la réussite.