Analyse du sujet et enjeux pédagogiques

Cet exercice du Baccalauréat 2022, session Amérique du Sud (Sujet 1), est un classique incontournable de l'analyse en Terminale. Il propose une étude complète d'une suite définie par récurrence, couplant des compétences purement algébriques, l'utilisation du langage Python et l'introduction de la fonction logarithme népérien pour linéariser le problème. L'objectif est de guider l'élève de l'étude locale (calcul de termes) vers l'étude asymptotique (limite), en passant par une transformation de la suite initiale.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire fondamentaux du programme de spécialité mathématiques :

• Algorithmique et Python : La première partie demande de comprendre la structure d'une fonction informatique. Il est crucial de savoir identifier les bornes d'une boucle for (attention à l'exclusion de la borne supérieure avec range) et de traduire la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ en instruction d'affectation informatique.
• Le raisonnement par récurrence : L'exercice exige de démontrer qu'une suite est bornée ($0 < u_n \leqslant 4$). La rédaction doit être rigoureuse : initialisation, hérédité (en utilisant les propriétés de la fonction carré et les inégalités) et conclusion. C'est une étape clé pour justifier la bonne définition de la suite, notamment pour l'utilisation ultérieure du logarithme.
• Étude de la convergence : Le candidat doit articuler le sens de variation de la suite (ici décroissante) avec le fait qu'elle soit minorée pour invoquer le théorème de la convergence monotone. C'est un point de cours théorique essentiel.
• Le théorème du point fixe : Une fois la convergence établie, le passage à la limite dans l'égalité $u_{n+1} = f(u_n)$ permet de déterminer la valeur exacte de la limite $\ell$. Il faut savoir résoudre l'équation $\ell = \frac{1}{5}\ell^2$.
• Lien Suites et Logarithmes : La dernière partie est la plus technique. Elle nécessite de manipuler les propriétés algébriques du logarithme népérien (notamment $\ln(a^n) = n\ln(a)$ et $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$). L'élève doit montrer qu'une suite auxiliaire est géométrique, ce qui permet d'exprimer le terme général en fonction de $n$, puis de remonter à la suite initiale par l'exponentielle.

En résumé, cet exercice numéro 2 vérifie la capacité à synthétiser des connaissances sur les suites et les fonctions. La difficulté réside moins dans les calculs que dans l'enchaînement logique des questions, où chaque résultat (bornes, convergence) sert à justifier l'existence et le comportement des objets mathématiques manipulés ensuite.