Oui
Fonction logarithme
Étude de fonctions
Convexité
Dérivation
Limites
Théorème des valeurs intermédiaires
Sujet Bac Corrigé - Fonction logarithme et Convexité - Nouvelle-Calédonie Sujet 1 - 2022 - Ex 1 - Corrigé
30 septembre 2022
Terminale Spécialité
Prêt à dompter l'analyse de fonctions ? 🚀 Cet exercice issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2022 est l'entraînement idéal pour briller au Bac ! On s'attaque à une fonction mêlant polynômes et logarithme népérien pour un check-up complet de tes compétences.
Au programme de ton défi :
- Maîtriser les limites et leurs interprétations graphiques.
- Calculer la dérivée et dresser un tableau de variations impeccable.
- Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires avec précision.
- Analyser la convexité pour dénicher les coordonnées exactes d'un point d'inflexion. 🧠
⚠️ Attention au piège final sur les positions relatives du segment [AM] ! C'est le genre de question technique qui fait la différence. Alors, sauras-tu relever le défi et viser le sans-faute ? 🔥 Démarre l'exercice dès maintenant ! ✅
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
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Compétences et clés de réussite
Cet exercice, issu du Sujet 1 du Baccalauréat 2022 en Nouvelle-Calédonie, propose une étude classique mais complète d'une fonction mêlant polynôme et logarithme népérien. Il s'adresse aux élèves de Terminale préparant l'épreuve de spécialité mathématiques. La réussite de ce type de problème repose sur la maîtrise de l'analyse fonctionnelle, depuis les limites jusqu'à la convexité.
1. Maîtriser le comportement asymptotique
La première partie de l'exercice exige une bonne connaissance des limites de référence de la fonction logarithme népérien (ln). En 0, il s'agit de gérer une forme déterminée simple, mais attention à l'interprétation graphique qui en découle (asymptote verticale). En $+\infty$, l'élève doit être capable de lever une éventuelle forme indéterminée ou d'utiliser les théorèmes de croissances comparées si nécessaire, bien que dans le cas présent, l'analyse des termes de plus haut degré ou une factorisation simple suffise souvent.
2. Dérivation et étude des variations
Le cœur de l'exercice repose sur le calcul de la dérivée $f'(x)$. La fonction étant une somme de termes, la dérivation est directe. La difficulté réside souvent dans l'étude du signe de cette dérivée. Ici, la mise au même dénominateur fera apparaître un polynôme du second degré au numérateur. La compétence clé est alors de savoir étudier le signe d'un trinôme (calcul du discriminant $\Delta$) pour en déduire les variations de la fonction $f$.
3. Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
La question sur l'unicité de la solution de l'équation $f(x)=0$ est un incontournable du Bac. Pour obtenir tous les points, la rédaction doit être rigoureuse et vérifier trois conditions :
- La continuité de la fonction sur l'intervalle donné ;
- La stricte monotonie de la fonction sur cet intervalle ;
- L'appartenance de la valeur cible (ici 0) à l'intervalle image (calculé via les bornes [4; 5]).
4. Convexité et point d'inflexion
La dernière partie aborde la convexité, une notion plus fine de l'analyse. L'élève doit exploiter l'expression de la dérivée seconde $f''(x)$ fournie. L'étude du signe de $f''(x)$ permet de conclure sur la convexité (fonction convexe si $f'' \geqslant 0$, concave si $f'' \leqslant 0$).
La détection du point d'inflexion nécessite de repérer la valeur pour laquelle la dérivée seconde s'annule en changeant de signe. Enfin, la dernière question demande une interprétation géométrique de la convexité : comprendre la position relative de la courbe par rapport à ses cordes (segment [AM]). C'est une application directe de la définition géométrique de la convexité qui permet de savoir si la courbe est située "en dessous" ou "au-dessus" de ses sécantes.