Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 (Asie, Sujet 2) est un classique combinant l'analyse de fonction et l'étude de suites numériques. Il mobilise un large éventail de compétences analytiques et nécessite une bonne maîtrise du calcul algébrique sur les logarithmes.

1. Étude de fonction et dérivée seconde

La première partie de l'exercice se concentre sur une fonction logarithmique. Les points clés incluent :

• Limites et formes indéterminées : Savoir lever l'indétermination en $0$ (croissances comparées ou limite usuelle $x \ln(x)$) et en $+\infty$.
• Dérivée seconde : L'exercice demande explicitement de calculer $f''(x)$. C'est une méthode puissante pour étudier les variations de la dérivée première $f'$, ce qui permet ensuite de déduire le signe de $f'$ et donc les variations de $f$.
• Rigueur rédactionnelle : Il est crucial de justifier proprement les domaines de dérivabilité et le signe des expressions obtenues.

2. Fonction auxiliaire et équation $f(x)=x$

Cette section intermédiaire fait le lien entre l'analyse pure et les suites. Elle introduit une fonction auxiliaire $g(x) = x - \ln(x)$. L'objectif est de résoudre l'équation $f(x) = x$. L'élève doit comprendre que la recherche des points fixes de $f$ revient souvent à étudier les zéros d'une fonction simplifiée ou à utiliser des propriétés algébriques spécifiques. Ici, la déduction se fait via l'étude des variations de $g$.

3. Suites récurrentes et convergence

La dernière partie aborde une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Pour réussir, il faut maîtriser :

• Le raisonnement par récurrence : Il est indispensable pour démontrer l'encadrement de la suite ($1/2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$). Notez que la question demande de prouver à la fois l'encadrement et la monotonie (croissance) en une seule récurrence ou par étapes successives.
• Théorème de convergence monotone : Justifier que la suite converge car elle est croissante et majorée.
• Théorème du point fixe : Puisque $f$ est continue, la limite $\ell$ doit vérifier $f(\ell) = \ell$. La résolution de cette équation a été préparée dans la partie B, ce qui permet de conclure rapidement sur la valeur de la limite.

En résumé, cet exercice teste la capacité à enchaîner les études (dérivée seconde $\to$ dérivée $\to$ fonction $\to$ suite) et à utiliser les résultats précédents pour résoudre des problèmes de convergence.