Analyse du Sujet Bac 2024 : Centres Étrangers Sujet 1 - Exercice 2

L'exercice 2 du sujet 1 des Centres Étrangers 2024 est un classique incontournable de l'épreuve de spécialité mathématiques. Il combine l'étude d'une fonction exponentielle avec l'analyse d'une suite définie par récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$. Ce type de problème permet d'évaluer la capacité des candidats à mobiliser des connaissances transversales entre l'analyse fonctionnelle et l'étude des suites numériques.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire fondamentaux du programme de Terminale :

• Dérivation et étude de variations : La première partie exige une maîtrise parfaite de la dérivation d'un produit de fonctions $(uv)' = u'v + uv'$. Ici, la fonction $f(x) = 2xe^{-x}$ demande de gérer la dérivée de l'exponentielle composée. Une étude rigoureuse du signe de la dérivée permet ensuite de dresser le tableau de variations sur l'intervalle $[0; 1]$.
• Résolution d'équations : La résolution de l'équation $f(x) = x$ (équation aux points fixes) est une étape clé. Elle prépare le terrain pour la détermination de la limite de la suite. Il faut savoir simplifier l'expression pour isoler l'inconnue $x$.
• Raisonnement par récurrence : L'étude de la suite repose sur une démonstration par récurrence pour prouver que la suite est bornée et croissante ($0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1$). La rédaction doit être impeccable : initialisation, hérédité en utilisant la croissance de la fonction $f$, et conclusion.
• Théorème de convergence monotone : C'est l'argument théorique central pour justifier que la suite converge. Il faut explicitement citer que la suite est croissante et majorée pour affirmer l'existence d'une limite finie.
• Théorème du point fixe : Pour trouver la valeur exacte de la limite, l'élève doit utiliser la continuité de la fonction $f$ et résoudre $f(\ell) = \ell$. C'est ici que le travail effectué en début d'exercice prend tout son sens.
• Algorithmique et Python : La dernière partie évalue la compréhension des boucles while. Il s'agit de compléter un script de recherche de seuil. L'élève doit comprendre la condition d'arrêt (tant que la précision n'est pas atteinte) et l'instruction d'affectation pour mettre à jour les termes de la suite.

En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans la rédaction des démonstrations et une bonne vision d'ensemble pour relier les propriétés de la fonction $f$ au comportement asymptotique de la suite $(u_n)$.