Compétences et clés de réussite

Cet exercice de l'épreuve du Baccalauréat 2024 (Amérique du Nord, Sujet 1) propose une étude approfondie d'une fonction logarithmique, mêlant analyse graphique et calculs analytiques. Il est classique dans sa structure mais demande une bonne maîtrise des concepts de convexité et de dérivation.

1. Lecture graphique et interprétation

La première partie sollicite votre capacité à lier les concepts théoriques à leur représentation visuelle. Vous devez être capable de :

• Lire un nombre dérivé $f'(a)$ correspondant au coefficient directeur d'une tangente.
• Déterminer l'équation réduite d'une droite connaissant deux points.
• Identifier visuellement les changements de courbure (convexité et concavité) et repérer un point d'inflexion.

2. Étude analytique : Limites et Dérivées

Dans la partie analytique, la maîtrise des opérations sur la fonction logarithme népérien est indispensable. Les points clés incluent :

• Le calcul de limites aux bornes, en gérant les formes indéterminées (croissances comparées).
• Le calcul de la dérivée première $f'$ et la démonstration de la dérivée seconde $f''$. Ici, la fonction $x \mapsto \ln(x^2)$ nécessite l'utilisation de la formule de dérivation des fonctions composées $\ln(u)$.

3. Convexité et Variations

Le cœur de l'exercice repose sur l'étude du signe de la dérivée seconde pour déduire la convexité de $f$. Une fois la convexité établie, l'exercice demande de remonter aux variations de la dérivée première $f'$, puis d'en déduire son signe, pour enfin conclure sur les variations de la fonction $f$. Cet enchaînement logique ($f'' \to$ variations de $f' \to$ signe de $f' \to$ variations de $f$) est une compétence classique de terminale.

4. Résolution d'équation et TVI

L'exercice se termine par l'application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour prouver l'existence d'une solution unique $\alpha$ à l'équation $f(x)=0$. Enfin, une manipulation algébrique est requise pour transformer l'égalité $f(\alpha)=0$ en une relation exponentielle, testant votre agilité calculatoire.