Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2024, donné en Amérique du Sud (Sujet 1), est un classique de l'analyse mathématique en Terminale. Il combine la résolution algébrique d'équations différentielles linéaires du premier ordre avec l'étude analytique d'une fonction et une application algorithmique en Python. Voici les points clés pour réussir cet exercice.

1. Maîtriser les Équations Différentielles (Partie A)

La première partie exige une connaissance solide du cours sur les équations différentielles de la forme $y' + ay = b(x)$.

• Solution particulière : La première question demande de déterminer un coefficient réel pour qu'une fonction donnée soit solution. La méthode consiste à dériver la fonction candidate $g(x)$, à injecter $g(x)$ et $g'(x)$ dans l'équation différentielle $(E)$, et à identifier les coefficients pour trouver la valeur de l'inconnue $a$.
• Équation homogène : Il faut savoir résoudre l'équation sans second membre $(E') : y' + ay = 0$. Les solutions sont de la forme $y(x) = k\mathrm{e}^{-ax}$.
• Solution générale : Le candidat doit savoir que la solution générale de $(E)$ est la somme de la solution générale de $(E')$ et de la solution particulière $g$.
• Condition initiale : Enfin, pour déterminer l'unique solution $f$ telle que $f(0)=8$, il faut résoudre une équation simple permettant de fixer la constante d'intégration $k$.

2. Étude de Fonction Exponentielle (Partie B)

Cette partie exploite la fonction trouvée précédemment. La réussite repose sur la maîtrise du calcul dérivé et l'étude des variations.

• Dérivation d'un produit : La fonction est de la forme $u(x) \times v(x)$. Il est impératif d'appliquer rigoureusement la formule $(uv)' = u'v + uv'$. Ici, la dérivée de l'exponentielle composée $\mathrm{e}^{u(x)}$ doit être traitée avec attention (apparition du facteur $-\frac{1}{4}$).
• Signe et Variations : Une fois la dérivée factorisée par l'exponentielle (qui est toujours strictement positive), le signe de $f'(x)$ ne dépend que du facteur affine. Cela permet de dresser le tableau de variations et d'identifier le maximum de la fonction.

3. Théorème des Valeurs Intermédiaires et Python

La fin de l'exercice lie l'analyse théorique à l'algorithmique.

• Unicité de la solution : L'utilisation du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est requise pour justifier l'existence et l'unicité de la solution $\alpha$ à l'équation $f(x)=8$ sur un intervalle donné, en s'appuyant sur la stricte monotonie de la fonction.
• Algorithme de Dichotomie : Le script Python présenté est une implémentation classique de la méthode de dichotomie (ou bissection). L'élève doit être capable de "faire tourner" l'algorithme à la main : calculer le milieu $m$, tester la condition $f(m) > 8$, et mettre à jour la borne inférieure $a$ ou supérieure $b$ pour resserrer l'encadrement de la solution.

En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans le calcul algébrique (dérivées, équations) et une bonne compréhension des liens entre fonction, variations et recherche de racines par approximation.