Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet 2 du Baccalauréat Métropole 2024 propose une étude complète et transversale d'une fonction exponentielle. Il mobilise des compétences variées allant de l'analyse graphique intuitive à la rigueur du calcul intégral. Voici les points essentiels pour réussir ce type de problème.

1. Lecture graphique et interprétation géométrique

La première partie exige une maîtrise parfaite du lien entre la représentation graphique d'une courbe et les propriétés analytiques de la fonction. Les élèves doivent être capables de :

• Lire l'image d'un point directement sur la courbe.
• Interpréter le coefficient directeur d'une tangente (ici la droite $T$ passant par $N$ et $P$) comme la valeur du nombre dérivé $f'(a)$.
• Déduire la convexité (concave ou convexe) en observant la position de la courbe par rapport à ses tangentes ou la courbure générale.
• Identifier une primitive potentielle. C'est une compétence subtile : il faut se rappeler que si $F$ est une primitive de $f$, alors $F' = f$. Ainsi, le signe de $f$ (positif ou négatif sur le graphique) donne les variations de la primitive $F$ (croissante ou décroissante).

2. Modélisation et identification de paramètres

Le passage de l'étude graphique à l'expression algébrique est un classique des sujets de Bac. L'exercice donne une forme générale $f(x) = (ax + b)e^{\lambda x}$. La clé de la réussite réside dans la capacité à traduire les informations graphiques de la partie A (coordonnées des points, valeurs de la dérivée) en un système d'équations. Il faut savoir dériver une expression littérale contenant des paramètres inconnus pour ensuite identifier $a$, $b$ et $\lambda$.

3. Étude analytique et convexité

Une fois l'expression de la fonction figée, l'exercice bascule vers une étude de fonction standard. Les points de vigilance incluent :

• Les limites : Ici, l'étude en $-\infty$ nécessite de connaître les croissances comparées ou les factorisations usuelles de l'exponentielle.
• La dérivation : L'utilisation de la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ est indispensable.
• La convexité : L'étude du signe de la dérivée seconde $f''$ permet de justifier formellement la convexité et de localiser précisément les points d'inflexion (là où $f''$ s'annule en changeant de signe).

4. Calcul intégral et Intégration par Parties (IPP)

La dernière partie met l'accent sur le calcul intégral. La maîtrise de l'intégration par parties est cruciale ici. C'est une technique exigible qui permet de primitive des produits de fonctions (polynôme $\times$ exponentielle). Enfin, l'exercice aborde la notion d'intégrale généralisée de manière intuitive : calculer une aire sur un intervalle tendant vers l'infini. Il s'agit de calculer l'intégrale en fonction d'un paramètre $t$, puis d'étudier la limite de ce résultat quand $t$ tend vers l'infini, illustrant qu'une surface non bornée peut avoir une aire finie.