Analyse du Sujet Bac Spécialité Mathématiques - Amérique du Sud (Novembre 2024)

Le sujet du baccalauréat de mathématiques tombé en Amérique du Sud en novembre 2024 (Jour 2) est un excellent support d'entraînement pour les futurs bacheliers. Il couvre de manière équilibrée les quatre grands piliers du programme de Terminale : les probabilités, l'analyse (suites et équations différentielles), l'étude de fonctions avec intégration, et la géométrie dans l'espace. C'est un sujet que l'on pourrait qualifier de "classique mais complet", idéal pour vérifier la solidité des acquis.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (5 points)

Ce premier exercice ancre les mathématiques dans le réel avec une étude sur les groupes sanguins en France. C'est une structure très fréquente au bac.

• Les notions clés : Probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, et loi binomiale.
• L'analyse du professeur :

  La Partie 1 demande de la rigueur dans la lecture de l'arbre pondéré (implicite ici, il faut souvent le construire au brouillon). La difficulté réside dans la manipulation des notations $A+$, $Rh+$, etc. L'élève doit être capable de traduire "groupe A de rhésus +" par une intersection d'événements.

  La Partie 2 bascule sur une loi binomiale ($n=50$). Le point intéressant est la lecture de script Python. La fonction proba(k) calcule une probabilité cumulée $P(X \leqslant k)$. Il ne faut pas confondre avec $P(X=k)$. Enfin, la question sur le "nombre minimal de personnes" pour obtenir une probabilité supérieure à 0,999 fait appel à la résolution d'inéquations avec logarithmes ($1 - P(X=0) > 0,999$), un grand classique à maîtriser absolument.

Exercice 2 : Vrai/Faux - Suites et Équations Différentielles (5 points)

Le format Vrai/Faux est à double tranchant : il permet de balayer plusieurs chapitres, mais exige une justification parfaite. Ici, le sujet mêle deux thèmes majeurs.

• Les notions clés : Suites arithmético-géométriques, limites, équations différentielles linéaires du premier ordre ($y' = ay+b$).
• Les pièges à éviter :

  Dans la Partie 1, pour l'étude de la suite, il ne suffit pas de calculer les premiers termes. Il faut souvent utiliser une récurrence ou passer par la suite auxiliaire géométrique (proposée dans l'affirmation 3) pour justifier la limite. Attention à l'affirmation 1 : une suite peut être décroissante et minorée sans tendre vers 0 !

  Dans la Partie 2, on retrouve l'équation différentielle $y' = \frac{3}{2}y + 2$. L'élève doit connaître par cœur la forme des solutions $k\text{e}^{ax} - \frac{b}{a}$. Le calcul du coefficient directeur de la tangente correspond simplement à calculer $f'(1)$ (et non $f(1)$), en utilisant l'équation différentielle elle-même.

Exercice 3 : Étude de Fonction et Intégration (5 points)

C'est le "cœur" de l'analyse. L'exercice propose d'étudier la fonction $f(x) = (x^2 - 4)\text{e}^{-x}$.

• Les compétences évaluées : Dérivation d'un produit $(uv)'$, limites (croissances comparées), intégration par parties (IPP), calcul d'aire.
• L'analyse du professeur :

  La Partie 1 est standard : étude des variations. La dérivée demande de l'attention sur les signes.

  La Partie 2 est plus technique avec la suite d'intégrales $I_n$. L'utilisation de l'intégration par parties pour établir une relation de récurrence ($I_{n+1}$ en fonction de $I_n$) est une compétence experte souvent discriminante pour les notes supérieures à 15/20.

  La Partie 3 relie tout cela par un calcul d'aire. La subtilité ici est de voir le lien entre l'aire cherchée (intégrale de $f$) et les intégrales $I_n$ calculées précédemment. En effet, $\int (x^2 - 4)\text{e}^{-x} \text{d}x$ se décompose en $I_2 - 4I_0$. C'est une très jolie conclusion qui récompense les élèves attentifs à la structure globale de l'exercice.

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

L'exercice final propose une démonstration élégante d'une propriété géométrique (une sorte de théorème de Pythagore pour les aires en 3D).

• Les notions clés : Repère orthonormé, vecteur normal, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique de droite, projection orthogonale, calcul de volume.
• La philosophie de l'exercice :

  La Partie 1 est très procédurale : montrer qu'un vecteur est normal, trouver l'équation du plan, projeter le point O sur le plan. C'est du "cours appliqué".

  La Partie 2 est plus créative. On calcule le volume du tétraèdre de deux manières. D'une part, grâce au repère, les faces OAB, OBC et OCA sont des triangles rectangles simples (base $\times$ hauteur / 2). Cela permet d'avoir le volume facilement. D'autre part, on utilise la formule $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire}(ABC) \times \text{Hauteur}$. Comme on a calculé la hauteur dans la partie 1, on en déduit l'aire de la face inclinée ABC. La dernière question demande de vérifier l'égalité des carrés des aires, un résultat satisfaisant pour l'esprit !

Conclusion

Ce sujet Amérique du Sud 2024 est un très bon indicateur de niveau. Il ne comporte pas de piège vicieux mais demande une maîtrise technique solide, notamment sur l'intégration par parties et la lecture de script Python.