Analyse du Sujet Bac Asie 2021 - Exercice 1

L'exercice 1 du sujet du Baccalauréat de Mathématiques pour la zone Asie 2021 est un classique incontournable pour les élèves de Terminale. Il aborde l'étude complète d'une modélisation par suite numérique, intégrant des aspects théoriques (récurrence, limites) et pratiques (algorithmique avec Python). Ce type d'exercice, noté généralement sur 5 à 7 points, est représentatif des attentes de l'épreuve finale.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Spécialité Mathématiques. Voici les points clés à réviser :

• Modélisation d'une situation : La première étape consiste à traduire un énoncé concret (ici, l'évolution du nombre d'abonnés d'une influenceuse) en langage mathématique. Il faut savoir identifier une évolution en pourcentage (le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 10 %) et un terme constant (l'ajout de 250 abonnés) pour établir la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$.
• Algorithmique et Python : L'exercice demande d'interpréter une fonction Python. Il est essentiel de comprendre la structure d'une boucle for (bornée) et de savoir suivre l'évolution des variables pas à pas pour déterminer la valeur renvoyée par la fonction.
• Raisonnement par récurrence : C'est un pilier de l'analyse en Terminale. L'élève doit être capable de rédiger rigoureusement les trois étapes : initialisation, hérédité et conclusion, pour démontrer une propriété de majoration (ici $u_n \leqslant 2500$).
• Étude de la convergence : Une question classique consiste à déduire la convergence de la suite à partir de sa monotonie (suite croissante) et du fait qu'elle soit majorée. C'est l'application directe du théorème de convergence monotone.
• Passage par une suite auxiliaire : Pour obtenir l'expression explicite de $u_n$, l'énoncé introduit une suite auxiliaire $(v_n)$. La clé est de démontrer que $(v_n)$ est géométrique. Cela nécessite de calculer le rapport $v_{n+1} / v_n$ ou d'exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ en utilisant la relation de récurrence de $u_n$.
• Calcul de limites : Une fois la forme explicite de $u_n$ obtenue (faisant intervenir une puissance $q^n$), il faut savoir calculer sa limite quand $n$ tend vers l'infini, sachant que pour $|q| < 1$, la limite est nulle. L'interprétation concrète de ce résultat est indispensable pour clore la question.
• Recherche de seuil : La dernière partie demande de déterminer quand une valeur est dépassée. Cela peut se faire par tâtonnements successifs (calculatrice), par résolution d'inéquation (utilisant le logarithme népérien si maîtrisé) ou par l'écriture d'un algorithme de seuil (boucle while).

En résumé, cet exercice Asie 2021 balaye l'ensemble du chapitre sur les suites. Une maîtrise parfaite de la méthode de la suite auxiliaire et de la rédaction de la récurrence garantit une note maximale sur cette partie.