Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2021 (Métropole, Sujet du 8 juin) est un classique de l'analyse combinant la résolution d'équations différentielles et l'étude de fonctions avec l'exponentielle.

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser les points suivants :

• Vérification d'une solution particulière : La première question demande de prouver qu'une fonction donnée $u(x)$ vérifie l'équation $(E)$. Il est impératif de savoir dériver correctement un produit de la forme $x^2e^x$ en utilisant la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
• Lien entre solution particulière et équation homogène : Une compétence clé du programme est de savoir démontrer que la recherche de la solution générale passe par la résolution de l'équation homogène associée $y' = y$. Ici, on utilise une fonction auxiliaire $g = f - u$.
• Résolution de $y' = ay$ : Il faut connaître par cœur la forme des solutions des équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre (fonctions de type $x \mapsto K e^{ax}$).
• Étude de variations : L'analyse de la fonction $u$ nécessite l'étude du signe de sa dérivée $u'$. La factorisation par l'exponentielle (toujours positive) est une étape systématique pour isoler le polynôme dont on étudie le signe.
• Convexité et dérivée seconde : La dernière partie interroge sur la convexité. L'élève doit savoir que cela revient à étudier le signe de la dérivée seconde $u''(x)$ ou les variations de la dérivée $u'(x)$. La rigueur dans le calcul de la dérivée seconde est primordiale pour déterminer l'intervalle de concavité.

Cet exercice permet de vérifier la capacité à articuler le calcul algébrique (dérivées, équations) avec le raisonnement analytique (variations, positions relatives de courbes ou concavité).