Analyse globale de l'exercice

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Métropole 2021, Sujet 2) propose une étude classique d'analyse de fonction couplée à une application géométrique intéressante. Il est divisé en deux parties interdépendantes : une étude de fonction auxiliaire et une modélisation géométrique faisant intervenir des tangentes. Ce type de structure est fréquent au baccalauréat pour tester la capacité des élèves à lier des concepts algébriques à des propriétés graphiques.

Compétences et clés de réussite

1. Maîtrise du calcul de limites et des formes indéterminées

Dans la première partie, l'élève est confronté à la fonction $h(x) = 1 + \frac{\ln(x)}{x}$. La détermination des limites aux bornes de l'ensemble de définition (ici $]0 ; +\infty[$) est primordiale. En $0$, il faut reconnaître la limite de $\ln(x)$ et celle de $1/x$. En $+\infty$, il s'agit d'identifier une croissance comparée classique. Une bonne connaissance des limites usuelles du logarithme népérien est donc indispensable.

2. Dérivation et étude des variations

Le calcul de la dérivée nécessite l'application rigoureuse de la formule du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)'$. L'expression obtenue, $h'(x)$, permet d'étudier le signe de la dérivée qui dépend ici uniquement du signe de $1 - \ln(x)$, le dénominateur étant strictement positif. La construction du tableau de variations doit être faite avec soin pour préparer la question suivante.

3. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

L'exercice demande de prouver l'existence d'une unique solution $\alpha$ à l'équation $h(x)=0$. C'est une application directe du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur une fonction continue et strictement monotone. La justification de l'encadrement de $\alpha$ se fait ensuite par balayage à la calculatrice.

4. Lien entre dérivée et coefficient directeur

La seconde partie bascule vers la géométrie. La compétence clé ici est de savoir que le coefficient directeur de la tangente à une courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est égal au nombre dérivé $f'(a)$. L'élève doit dériver deux fonctions distinctes, $f(x) = x\ln(x) - x$ et $g(x) = \ln(x)$, pour exprimer les pentes des droites $T_a$ et $D_a$.

5. Orthogonalité et résolution d'équation

Le point d'orgue de l'exercice réside dans l'utilisation de la condition d'orthogonalité de deux droites : le produit de leurs coefficients directeurs doit valoir $-1$. En posant cette équation, l'élève doit retrouver l'expression de la fonction $h$ étudiée en Partie I. La réussite de cette question finale dépend de la capacité à faire le lien entre l'équation géométrique obtenue ($1 + \frac{\ln(a)}{a} = 0$) et le zéro de la fonction $h$ (la valeur $\alpha$) identifié précédemment.