Compétences et clés de réussite

Cet exercice 5 du sujet 2 de l'épreuve de spécialité mathématiques du Bac 2021 (Métropole / Candidats libres) est un classique de l'analyse fonctionnelle. Il mobilise des connaissances fondamentales sur la fonction logarithme népérien, le calcul de dérivées et le lien entre une fonction et sa primitive. La réussite de ce problème repose sur une bonne structuration des étapes, divisées ici en trois parties progressives.

1. Étude d'une fonction auxiliaire

La première partie introduit une fonction $g$ servant d'outil pour la suite. L'objectif est d'étudier ses variations pour déterminer son signe. Les points clés incluent :

• Limites : Savoir lever les formes indéterminées classiques (croissances comparées) en 0 et en $+\infty$.
• Dérivation : Calculer $g'(x)$ pour établir le tableau de variations.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Justifier rigoureusement l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha$ à l'équation $g(x) = 0$. Il est souvent demandé de vérifier une valeur particulière (ici $g(1)$) pour déduire le signe de la fonction sur son domaine de définition.

2. Étude de la fonction principale

La deuxième partie s'intéresse à la fonction $f$, construite comme un produit de termes incluant l'inverse et le logarithme. L'élève doit démontrer une relation entre la dérivée $f'$ et la fonction auxiliaire $g$ étudiée précédemment. C'est une mécanique fréquente au baccalauréat : le signe de $g(x)$ donne directement le signe de $f'(x)$, et donc les variations de $f$.

Il faut également savoir résoudre des équations produits ($A \times B = 0$) pour trouver les racines de $f$ et en déduire son tableau de signes. Cette étape est cruciale car le signe de $f$ sera réutilisé dans la dernière partie.

3. Lien entre fonction et primitive

La dernière partie aborde le concept de primitive de manière qualitative. On ne demande pas de calculer l'expression de $F$, mais d'analyser ses propriétés à partir de sa dérivée $f$ (puisque $F' = f$).

• Variations de F : Elles dépendent directement du signe de sa dérivée $f$, établi à la fin de la partie II.
• Tangentes horizontales : La question géométrique sur l'existence de tangentes parallèles à l'axe des abscisses pour la courbe $\mathcal{C}_F$ revient à chercher les valeurs pour lesquelles la dérivée s'annule ($F'(x) = f(x) = 0$).

En résumé, cet exercice teste la capacité à enchaîner les déductions logiques d'une partie à l'autre, en maîtrisant parfaitement les propriétés algébriques et analytiques du logarithme.