Compétences et clés de réussite

Cet exercice de la session de septembre 2021 en Métropole est un classique incontournable de l'épreuve de mathématiques du Baccalauréat. Il mobilise l'ensemble des compétences relatives à l'étude des suites numériques, couplées à une approche algorithmique. Voici les points essentiels pour réussir ce type de problème.

1. Étude d'une suite récurrente et fonction associée

Le sujet débute par l'étude d'une suite définie par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$. La première étape consiste souvent à calculer les premiers termes pour conjecturer le comportement de la suite. Ici, la maîtrise du calcul fractionnaire est indispensable pour éviter les erreurs d'étourderie dès le début de l'épreuve.

2. Le raisonnement par récurrence

L'une des pierres angulaires de cet exercice est la démonstration par récurrence. L'élève doit être capable de structurer rigoureusement sa preuve en trois étapes :

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang $n=0$.
• Hérédité : Supposer la propriété vraie au rang $k$ et démontrer qu'elle l'est au rang $k+1$. Ici, l'utilisation de la croissance de la fonction $f$ est la clé pour simplifier la démonstration des inégalités.
• Conclusion : Rappeler que la propriété est vraie pour tout entier naturel.

Ce raisonnement permet ici d'encadrer la suite et d'établir sa croissance, conditions nécessaires pour appliquer le théorème de convergence monotone.

3. Calcul de limites et Théorème du point fixe

Une fois la convergence établie, la détermination de la limite $\ell$ repose sur la continuité de la fonction $f$. Il faut savoir résoudre l'équation du point fixe $f(\ell) = \ell$. C'est une compétence standard qui transforme un problème d'analyse en une résolution d'équation algébrique.

4. Algorithmique et langage Python

La partie algorithmique demande de comprendre la structure d'une boucle while (tant que). L'objectif est souvent de déterminer un rang (ou seuil) à partir duquel la suite atteint une certaine proximité avec sa limite. Il est crucial de savoir traduire une condition mathématique (comme $1 - u_P < E$) en instruction informatique et de bien gérer l'incrémentation des variables.

5. Suite auxiliaire et passage à la forme explicite

La dernière partie de l'exercice introduit une suite auxiliaire $(v_n)$ pour "débloquer" la situation. La méthode est systématique :

• Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ pour prouver que la suite est géométrique.
• Utiliser les formules des suites géométriques pour exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
• Inverser la relation liant $u_n$ et $v_n$ pour obtenir l'expression explicite de $u_n$.

Cette démarche permet de valider par le calcul direct la limite trouvée précédemment et démontre une maîtrise complète de l'analyse asymptotique.