Analyse du sujet et compétences clés

Cet exercice de Sujet 0 du Bac 2021 propose une modélisation classique en classe de Terminale : l'évolution de la température d'un objet (ici, une baguette de pain) dans un milieu ambiant. Il croise de manière pertinente l'analyse continue (fonctions, équations différentielles) et l'analyse discrète (suites numériques).

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs points fondamentaux du programme de Spécialité Mathématiques :

• Résolution d'équations différentielles linéaires : Il est indispensable de connaître la forme générale des solutions de l'équation $y' = ay + b$. Ici, l'identification des constantes à l'aide de la condition initiale $f(0)$ (température à la sortie du four) est la première étape critique.
• Étude de la fonction exponentielle : L'analyse des variations repose sur la dérivée de la fonction $t \mapsto e^{-kt}$. Il faut savoir justifier le signe de la dérivée pour prouver la décroissance de la température et calculer la limite en $+\infty$ pour valider la stabilisation vers la température ambiante (asymptote horizontale).
• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Pour déterminer le temps d'attente avant la mise en rayon, l'élève doit appliquer le corollaire du TVI (théorème de la bijection) sur une fonction strictement monotone. L'utilisation de la calculatrice est nécessaire pour encadrer la solution.
• Passage du continu au discret : La dernière partie introduit une suite $(\mathcal{D}_n)$ représentant la baisse de température minute par minute. La difficulté réside ici dans la gestion des unités de temps : la fonction $f$ est en heures, tandis que la suite est indexée en minutes (d'où l'apparition du facteur $\frac{n}{60}$).
• Calcul algébrique sur les puissances : La manipulation des exposants, notamment la factorisation par $e^{-0,1n}$, est requise pour identifier la nature géométrique de la suite et en déduire sa limite.

Pièges à éviter

Une erreur fréquente dans ce type de sujet de modélisation est la confusion des unités de temps. L'énoncé précise que $t$ est en heures. Lors de la lecture graphique ou des calculs sur la suite (question 4 et 5), il est impératif de convertir correctement les résultats (heures décimales vers minutes) pour obtenir la cohérence attendue.