Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2021 (Centres Étrangers, numéro 7) propose une étude classique de modélisation mathématique appliquée à l'écologie (panneaux solaires), divisée en deux approches : une discrète avec les suites numériques et une continue avec une fonction exponentielle.

Partie A : Modélisation par les suites

La première partie exige une maîtrise solide des suites arithmético-géométriques de la forme $u_{n+1} = a u_n + b$. Les points clés pour réussir cette partie comprennent :

• L'interprétation du modèle : Savoir traduire un énoncé concret (diminution de pourcentage et ajout constant) en relation de récurrence.
• L'algorithmique : Comprendre la structure d'une boucle while (tant que) en Python pour déterminer un seuil. Il faut identifier correctement la condition d'arrêt et l'incrémentation des variables.
• Le raisonnement par récurrence : Une compétence fondamentale pour démontrer une propriété de majoration ($u_n \leqslant 12500$) pour tout entier naturel $n$.
• L'étude de convergence : Utiliser le théorème de convergence monotone (suite croissante et majorée) pour justifier l'existence d'une limite.
• Le passage par une suite auxiliaire : Technique classique consistant à introduire une suite géométrique $(v_n)$ pour exprimer $u_n$ en fonction de $n$. Cela nécessite de savoir calculer les premiers termes, la raison, et d'appliquer les formules de limites de suites géométriques ($q^n$ avec $0 < q < 1$).

Partie B : Modélisation par une fonction

La seconde partie aborde le problème sous l'angle de l'analyse fonctionnelle. Les compétences sollicitées sont :

• La dérivation de fonctions composées : Savoir dériver une expression du type $e^{u(x)}$. Ici, la maîtrise des signes est cruciale pour déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$.
• Le calcul de limites : Déterminer le comportement asymptotique de la fonction en $+\infty$, en sachant que $\lim_{X \to -\infty} e^X = 0$.
• La résolution d'inéquations : Être capable de résoudre $f(x) > k$ en isolant l'exponentielle puis en utilisant le logarithme népérien ($\\ln$) pour extraire l'inconnue $x$.

Cet exercice est un excellent entraînement car il combine les deux piliers majeurs du programme de Terminale Spécialité : l'analyse de l'évolution discrète et continue.