Analyse globale de l'exercice : Suites, Convergence et Algorithmique

Cet exercice, issu de la session 2021 du Baccalauréat (Métropole Sujet 2), est un classique de l'analyse mathématique au lycée. Il propose une étude approfondie de deux suites numériques couplées, $(u_n)$ et $(v_n)$, définies par des relations de récurrence. L'objectif final est d'étudier la convergence du quotient de ces suites vers une constante irrationnelle célèbre, $\sqrt{2}$, et de modéliser cette approche via un algorithme en langage Python.

Le sujet est structuré de manière progressive : une première partie consacrée à l'étude intrinsèque des suites (sens de variation, minoration, divergence vers l'infini), suivie d'une seconde partie axée sur le rapport $r_n = v_n / u_n$. Cette structure permet d'évaluer la capacité des élèves à manipuler des inégalités, à mener des raisonnements logiques rigoureux et à interpréter des programmes informatiques dans un contexte mathématique.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit mobiliser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :

1. Maîtrise du raisonnement par récurrence

L'une des pierres angulaires de cet exercice est la démonstration par récurrence. À la question 1.c, il est demandé de prouver que $u_n \geqslant n + 1$. La clé de réussite réside ici dans la rigueur de la rédaction :

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang $n=0$.
• Hérédité : Utiliser l'hypothèse de récurrence ($u_k \geqslant k+1$) et les définitions des suites ($u_{k+1} = u_k + v_k$) pour démontrer la propriété au rang suivant, sans oublier d'utiliser les résultats précédents (comme $v_n \geqslant 1$).
• Conclusion : Conclure proprement pour tout entier naturel.

2. Étude de limites et théorèmes de comparaison

L'exercice teste la capacité à déduire des limites à partir d'inégalités. Après avoir établi que $u_n$ tend vers l'infini (par comparaison avec $n+1$), l'élève doit manipuler le rapport $r_n$. La question 2.a introduit une inégalité stricte encadrant un terme en $(-1)^{n+1}/u_n^2$. C'est le signal pour utiliser le théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement). Il est crucial de savoir que si une suite est encadrée par deux suites tendant vers 0, alors elle converge elle-même vers 0. Cette étape permet de déterminer la limite de $r_n^2$ puis celle de $r_n$.

3. Lien entre Mathématiques et Python

La dernière partie de l'exercice fait le pont avec l'algorithmique. Le script Python présenté utilise une boucle while (tant que). L'élève doit comprendre la structure de l'algorithme :

• L'initialisation des variables.
• La condition d'arrêt : abs(r-sqrt(2)) > 10**(-4) signifie que la boucle continue tant que l'écart entre $r$ et $\sqrt{2}$ est supérieur à la précision demandée ($10^{-4}$).
• L'incrémentation : le calcul du terme suivant et la mise à jour du compteur $n$.

Interpréter la valeur renvoyée (ici 5) revient à comprendre que c'est le premier rang pour lequel l'approximation de $\sqrt{2}$ par la suite $r_n$ atteint la précision requise. C'est une compétence pratique fondamentale : savoir utiliser les mathématiques pour approximer des nombres réels.

4. Manipulation algébrique et suites couplées

Enfin, la manipulation des expressions algébriques est omniprésente. Que ce soit pour montrer la croissance de $(v_n)$ ou pour établir la relation de récurrence de $(r_n)$, l'aisance dans le calcul littéral est indispensable. L'exercice illustre une méthode historique d'approximation (proche de la méthode de Héron), montrant aux élèves que les suites ne sont pas seulement des objets abstraits, mais des outils puissants de calcul numérique.