Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du Sujet 1 du Baccalauréat 2021 (session de mars pour la Métropole) est un cas d'école pour l'épreuve de Spécialité Mathématiques. Il aborde de manière synthétique l'étude des suites numériques, combinant calculs algébriques, raisonnement logique et utilisation d'outils numériques. Voici les points essentiels pour réussir ce type de sujet.

1. Manipulation des premiers termes et outil informatique

La première partie de l'exercice vérifie la capacité du candidat à calculer les premiers termes d'une suite définie par une relation de récurrence du type $u_{n+1} = f(u_n, n)$. La rigueur dans le calcul fractionnaire est ici indispensable pour éviter les erreurs d'approximation.

De plus, l'exercice intègre une question sur le tableur. Il est crucial de comprendre la syntaxe des formules (références relatives et absolues) pour générer les termes d'une suite. Savoir traduire une relation de récurrence mathématique en langage tableur (par exemple, utiliser l'adresse de la cellule précédente) est une compétence attendue.

2. Le raisonnement par récurrence

Le cœur de l'exercice repose sur une démonstration par récurrence. Ici, il s'agit de prouver un encadrement de la suite : $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$. La réussite de cette question dépend de la structuration rigoureuse de la preuve :

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang 0.
• Hérédité : Supposer la propriété vraie au rang $k$ et démontrer qu'elle l'est au rang $k+1$. Cette étape nécessite souvent de manipuler des inégalités et d'utiliser la définition de la suite.
• Conclusion : Rappeler que la propriété est vraie pour tout entier naturel.

3. Étude des limites et théorèmes de comparaison

Une fois l'encadrement établi, l'analyse du comportement asymptotique devient naturelle. L'utilisation du théorème de comparaison permet de déterminer la limite de la suite $(u_n)$ en $+\infty$. De même, pour la limite du quotient $\frac{u_n}{n}$, le candidat doit savoir utiliser le théorème des gendarmes à partir de l'inégalité démontrée précédemment. C'est une application classique qui lie algèbre et analyse.

4. Suites auxiliaires et forme explicite

Enfin, l'exercice guide le candidat vers l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ via une suite auxiliaire $(v_n)$. Il faut savoir démontrer qu'une suite est géométrique en calculant le rapport $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ (ou en exprimant $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$). Cette méthode standard permet de transformer une relation de récurrence complexe en une forme géométrique simple, facilitant ainsi le calcul de n'importe quel terme et la validation des conjectures émises.