Analyse globale de l'exercice

Cet exercice de l'épreuve du Baccalauréat 2021 (Métropole, Sujet 1) est un classique de l'analyse mathématique en Terminale. Il porte principalement sur l'étude d'une fonction définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ mêlant fonction affine, inverse et logarithme népérien. L'objectif est de vérifier la capacité des élèves à mener une étude de fonction complète, allant des limites à la convexité, en passant par la dérivation et l'analyse des variations.

Compétences et clés de réussite

1. Calcul de limites et formes indéterminées

La première étape consiste à déterminer le comportement de la fonction aux bornes. Ici, pour la limite en $+\infty$, l'élève doit être vigilant face aux formes indéterminées du type $\infty - \infty$. La clé de la réussite réside souvent dans la factorisation par le terme prépondérant (ici $x$) pour lever l'indétermination, en utilisant les croissances comparées usuelles concernant le logarithme.

2. Dérivation et algèbre

Le calcul de la dérivée $f'(x)$ est une compétence technique fondamentale. L'expression donnée $f(x) = x + 4 - 4 \ln(x) - \frac{3}{x}$ requiert de connaître les dérivées des fonctions élémentaires ainsi que la dérivée de l'inverse $\frac{1}{x}$. Une fois la dérivation brute effectuée, un travail de mise au même dénominateur est nécessaire pour obtenir la forme factorisée ou rationnelle proposée par l'énoncé. Il est crucial de savoir manipuler les fractions algébriques avec aisance pour retrouver le résultat cible $\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2}$.

3. Étude du signe et variations

L'étude du signe de la dérivée repose ici sur l'analyse d'un polynôme du second degré (le numérateur), puisque le dénominateur ($x^2$) est strictement positif sur le domaine de définition. L'élève doit savoir calculer un discriminant ($\Delta$) ou identifier des racines évidentes pour dresser le tableau de signes. Ce tableau permet ensuite de déduire les variations de $f$. La rigueur est attendue dans le calcul des extremums (images des racines) et le report des limites trouvées précédemment.

4. Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires

La question demandant de trouver le nombre de solutions à l'équation $f(x) = \frac{5}{3}$ fait appel au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (souvent appelé théorème de la bijection monotone). La clé est de bien lire le tableau de variations complet et de vérifier si la valeur cible est comprise dans les intervalles images définis par les extremums et les limites.

5. Convexité et point d'inflexion

La dernière partie évalue la compréhension de la notion de convexité. L'élève doit savoir que la convexité se détermine par le signe de la dérivée seconde $f''(x)$. Cela implique de dériver à nouveau l'expression de $f'(x)$. Une maîtrise de la formule de dérivation d'un quotient $\left(\frac{u}{v}\right)'$ est indispensable. L'étude du signe de $f''(x)$ permettra de conclure sur les intervalles de convexité/concavité et d'identifier l'unique point d'inflexion (là où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe).

Conseils méthodologiques

Pour réussir cet exercice, il est recommandé de soigner la rédaction. Justifiez chaque étape, notamment pour les limites et l'application des théorèmes d'existence de solutions. Lors du calcul de la dérivée seconde pour la convexité, prenez le temps de simplifier l'expression au maximum avant d'étudier son signe, car les erreurs de calcul sont fréquentes à ce stade.