Compétences et clés de réussite

Cet exercice de mathématiques du baccalauréat 2021 (Métropole, session de septembre) se divise en deux parties indépendantes, traitant de thèmes classiques du programme de Terminale : l'analyse fonctionnelle appliquée à une situation concrète et les probabilités conditionnelles.

Partie I : Analyse d'une fonction exponentielle

Dans cette première partie, l'objectif est de modéliser l'évolution d'une population de crapauds. La fonction proposée est du type $f(t) = P(t) \times \text{e}^{u(t)} + k$, où $P(t)$ est un polynôme du second degré. Pour réussir cette étude, les candidats doivent maîtriser les compétences suivantes :

• Calcul de dérivée : La fonction nécessite l'utilisation de la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$. La difficulté réside dans la factorisation correcte par l'exponentielle pour retrouver l'expression donnée dans l'énoncé.
• Étude du signe : Une fois la dérivée factorisée, l'étude de son signe revient à étudier le signe d'un polynôme du second degré (ou ici, après simplification, d'un produit de facteurs du premier degré), car l'exponentielle est toujours strictement positive.
• Interprétation concrète : Il est crucial de savoir faire le lien entre les extrema mathématiques (minimum de la fonction) et le contexte biologique (population minimale).
• Résolution d'inéquation : L'utilisation du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) ou simplement l'usage de la calculatrice est nécessaire pour déterminer à quel moment la population repasse au-dessus d'un certain seuil.

Partie II : Probabilités conditionnelles

Cette seconde partie aborde un problème de diagnostic sanitaire via des prélèvements. Les notions clés à mobiliser sont :

• Arbre de probabilité : Savoir traduire un énoncé textuel en un arbre pondéré est fondamental. Il faut distinguer les probabilités simples des probabilités conditionnelles (sachant que...).
• Formule des probabilités totales : Cette formule permet de calculer la probabilité d'un événement « feuille » (ici, le têtard est contaminé) en sommant les chemins de l'arbre qui mènent à cet événement.
• Inversion du conditionnement : La dernière question est un classique du genre (type formule de Bayes) : on connaît l'état final (têtard non contaminé) et on cherche la probabilité de la cause (le lac est infecté). Cela demande une application rigoureuse de la définition de la probabilité conditionnelle $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans le calcul algébrique pour la partie analyse et une bonne lecture de l'énoncé pour la construction du modèle probabiliste.