Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, tiré du Baccalauréat 2021 (Métropole, Sujet 2), mobilise plusieurs notions fondamentales du programme de Spécialité Mathématiques. Il s'agit d'un problème classique d'optimisation géométrique nécessitant une bonne maîtrise des coordonnées et du calcul vectoriel.

1. Représentation paramétrique de droite

La première étape consiste à traduire les données géométriques en langage algébrique. Pour donner une représentation paramétrique d'une droite, l'élève doit identifier un point de passage (ici l'origine O) et un vecteur directeur (fourni). C'est la base pour exprimer les coordonnées d'un point mobile $M$ en fonction d'un paramètre réel $t$.

2. Optimisation d'une distance

L'exercice demande de minimiser la distance $AM$. Une astuce classique est rappelée : minimiser une distance équivaut à minimiser son carré. L'élève doit savoir calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé, ce qui aboutit ici à l'étude d'un trinôme du second degré $at^2 + bt + c$. La recherche du minimum de ce trinôme (via la forme canonique ou la dérivation) permet de trouver la position optimale du point $M_0$.

3. Orthogonalité et produit scalaire

Une propriété géométrique importante est mise en évidence : la distance d'un point à une droite est minimale lorsque le segment reliant le point à la droite est orthogonal à celle-ci. Pour le démontrer, l'utilisation du produit scalaire est indispensable. L'élève doit vérifier que le produit scalaire entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur $\vec{AM_0}$ est nul.

4. Calcul de volume et projection

La dernière partie de l'exercice élargit le problème au calcul de volume d'une pyramide. Cela requiert de bien visualiser la figure pour identifier une base simple (souvent un triangle rectangle dans les plans de coordonnées) et la hauteur correspondante. La notion de projeté orthogonal est utilisée pour justifier la hauteur, liant ainsi les concepts de distance et de volume.