Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2021 (Centres Étrangers) propose une étude complète mêlant analyse fonctionnelle et équations différentielles. Il est structuré en trois parties progressives, permettant de lier l'étude d'une fonction auxiliaire à des propriétés géométriques.

1. Étude d'une fonction auxiliaire et signe

La Partie A est une étape classique d'analyse. L'objectif est d'étudier une fonction $g$ faisant intervenir l'exponentielle. Les compétences requises sont :

• Le calcul de la dérivée d'une fonction composée du type $e^{u(x)}$.
• L'étude du signe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction.
• L'utilisation des extremums (ici un minimum global) pour déterminer le signe de la fonction sur $\mathbb{R}$. Ce résultat est crucial car il sera réutilisé dans la partie suivante pour étudier une position relative.

2. Équations différentielles et lien avec la fonction

La Partie B introduit l'équation différentielle linéaire du premier ordre homogène $(E) : 3y' + y = 0$. Les candidats doivent maîtriser :

• La résolution générale des équations du type $y' = ay$ ou $ay' + by = 0$.
• La détermination d'une solution particulière à l'aide d'une condition initiale (passage par un point).
• Le calcul de l'équation d'une tangente $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ en un point donné.
• L'étude de la position relative entre une courbe et sa tangente. C'est ici que l'élève doit faire le lien avec la Partie A, en reconnaissant que la différence $f(x) - (ax+b)$ correspond à l'expression étudiée précédemment.

3. Propriété géométrique de la tangente

La Partie C généralise le résultat à un point d'abscisse quelconque. Elle demande de la rigueur dans le calcul littéral pour démontrer une propriété géométrique intéressante : l'intersection de la tangente avec l'axe des abscisses se fait toujours avec un décalage constant par rapport à l'abscisse du point de contact. Cette partie évalue la capacité à abstraire le problème et à interpréter graphiquement un résultat analytique.

Pour réussir cet exercice, une bonne maîtrise des dérivées de l'exponentielle et de la structure des équations différentielles est indispensable. L'attention portée au lien entre les questions (notamment entre la partie A et la question B.3.b) est la clé pour obtenir la totalité des points.