Compétences et clés de réussite

Cet exercice, issu des épreuves du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2021 (Zone Asie), traite exclusivement de la géométrie dans l'espace. Il s'appuie sur une figure classique : un pavé droit (parallélépipède rectangle) muni d'un repère orthonormé spécifique. La maîtrise des coordonnées de vecteurs et des objets géométriques fondamentaux (droites, plans) est indispensable pour réussir ce type de problème.

1. Repérage et calcul vectoriel

La première étape consiste à savoir lire et déterminer des coordonnées dans un repère donné par les arêtes du solide. Ici, le repère est défini par trois vecteurs orthogonaux. La première difficulté réside souvent dans l'identification correcte des coordonnées des points (comme le milieu d'un segment ou un point défini par une relation vectorielle). Il faut ensuite appliquer la formule des coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}(x_B-x_A ; y_B-y_A ; z_B-z_A)$.

2. Équations de plans et de droites

Le cœur de l'exercice repose sur la caractérisation des plans et des droites :

• Vecteur normal : L'élève doit savoir vérifier qu'un vecteur est normal à un plan en montrant que son produit scalaire avec deux vecteurs non colinéaires du plan est nul.
• Équation cartésienne : Une fois le vecteur normal identifié, il faut savoir écrire l'équation du plan sous la forme $ax + by + cz + d = 0$ et déterminer $d$ grâce à un point connu.
• Représentation paramétrique : Pour définir une droite perpendiculaire à un plan, il faut utiliser le vecteur normal du plan comme vecteur directeur de la droite.

3. Projeté orthogonal et distances

L'exercice demande de démontrer qu'un point est le projeté orthogonal d'un autre sur un plan. Cela implique généralement de vérifier deux conditions : le point appartient au plan, et le vecteur formé par le point et sa projection est colinéaire au vecteur normal du plan. Cette notion est étroitement liée au calcul de la distance d'un point à un plan.

4. Volumes et aires

La dernière partie mobilise des compétences de calcul géométrique pur. Il s'agit d'utiliser la formule du volume d'un tétraèdre ($\frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$). Une astuce fréquente dans les sujets de Bac consiste à calculer ce volume de deux manières différentes : une méthode simple avec une base évidente (triangle rectangle) et une hauteur facile à lire, puis d'utiliser ce résultat pour déduire l'aire d'une face plus complexe ou une hauteur moins accessible (distance d'un point à un plan).