Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2021 (Zone Asie) est un exemple classique de modélisation mathématique appliqué à la biologie (croissance d'un bambou). Il permet d'évaluer la capacité des candidats à faire le lien entre un modèle discret (suites) et un modèle continu (fonctions et équations différentielles). Voici les savoir-faire essentiels pour réussir cet exercice :

• Maîtriser les suites arithmético-géométriques : La première partie exige de savoir manipuler une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = a u_n + b$. La méthode classique de la suite auxiliaire géométrique ($v_n$) est incontournable pour passer de la forme récurrente à la forme explicite en fonction de $n$.
• Calcul de limites de suites : Il faut être capable de déterminer la limite d'une suite géométrique de raison $q$ comprise entre 0 et 1, puis d'interpréter ce résultat dans le contexte du problème (taille maximale du bambou).
• Résolution d'équations différentielles : La seconde partie bascule vers le continu avec une équation du type $y' = ay + b$. Le candidat doit savoir vérifier qu'une fonction donnée est solution et utiliser une condition initiale ($L(0)=1$) pour valider le modèle.
• Étude de fonctions exponentielles : L'exercice demande d'analyser la dérivée d'une fonction comportant une exponentielle pour étudier la vitesse de croissance et sa limite en $+\infty$.

Analyse du sujet : Modèle discret vs Modèle continu

L'exercice est structuré en deux parties indépendantes mais complémentaires, illustrant deux manières d'appréhender un phénomène évolutif.

Partie I : L'approche discrète

Ici, le temps avance jour par jour. La difficulté principale réside dans la démonstration que la suite auxiliaire est géométrique. C'est une procédure standard en Terminale : on exprime $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$, on utilise la relation de récurrence, puis on factorise pour faire apparaître $v_n$. Une fois l'expression de $u_n$ obtenue ($u_n = 20 - 19 \times 0,95^n$), l'étude de la convergence montre que la taille tend vers 20 mètres.

Partie II : L'approche continue

Le modèle de von Bertalanffy est ici traduit par une équation différentielle. Contrairement aux suites où l'on regarde des étapes, ici le temps $t$ est un réel positif. L'analyse de la dérivée $L'(t)$ (qui représente la vitesse de croissance) est cruciale. L'élève doit observer que la vitesse diminue au cours du temps (la dérivée est décroissante) et tend vers 0, ce qui est cohérent avec l'atteinte d'une taille maximale (asymptote horizontale).