Compétences et clés de réussite

Cet exercice de la session Métropole Septembre 2021 propose une étude classique d'analyse combinée à un problème d'optimisation géométrique. Il mobilise des compétences centrales du programme de terminale, notamment autour de la fonction exponentielle et de la dérivation.

1. Étude de la fonction auxiliaire (Partie I)

La première partie est consacrée à l'étude d'une fonction $f(x) = x - \text{e}^{-2x}$. Les points clés pour réussir cette partie incluent :

• Le calcul de limites : Il faut être vigilant en $-\infty$ où une forme indéterminée peut apparaître, nécessitant une factorisation ou l'usage des croissances comparées si nécessaire (ici, une simple observation des termes suffit souvent).
• La dérivation : La fonction fait intervenir la composée $\text{e}^{u(x)}$. Il est crucial de maîtriser la formule $(e^u)' = u'e^u$ pour obtenir correctement le signe de la dérivée.
• Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : L'exercice demande de prouver l'unicité d'une solution $\alpha$. Il faut rédiger rigoureusement en mentionnant la continuité, la stricte monotonie et les images aux bornes.

2. Optimisation de distance et lien géométrique (Partie II)

La seconde partie applique les résultats précédents à un problème concret : trouver le point d'une courbe le plus proche de l'origine.

• Modélisation : L'élève doit travailler avec la fonction distance $h(t)$. La clé réside dans la capacité à dériver une racine carrée composée $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
• Lien entre les parties : Le numérateur de la dérivée $h'(t)$ fait réapparaître la fonction $f$ étudiée en Partie I. C'est une structure classique des sujets de Bac : utiliser le signe étudié précédemment pour déterminer les variations de la nouvelle fonction.
• Géométrie des tangentes : La fin de l'exercice connecte l'analyse à la géométrie. Il faut savoir exprimer le coefficient directeur d'une tangente ($g'(\alpha)$) et utiliser la propriété d'orthogonalité : deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs vaut $-1$. Cela permet de démontrer une propriété géométrique élégante concernant la distance minimale.

En résumé, cet exercice est un excellent entraînement pour manipuler les exponentielles dans des contextes variés, allant de l'étude de signe pure à l'application géométrique.