Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Polynésie 2021) est un classique de l'analyse fonctionnelle appliquée à un contexte économique (optimisation de bénéfice). Il mobilise plusieurs compétences centrales du programme de Terminale, notamment la maîtrise de la fonction logarithme népérien et le lien entre le signe de la dérivée et les variations d'une fonction.

1. Étude d'une fonction auxiliaire

La première partie de l'exercice introduit une fonction $f$ dont l'étude est un prérequis pour la suite. La clé de réussite réside ici dans la capacité à calculer correctement la dérivée d'une expression comportant $\ln(x)$. Il faut se rappeler que la dérivée de $\ln(x)$ est $1/x$ et savoir réduire l'expression au même dénominateur pour étudier son signe. Une fois le signe de $f'(x)$ établi, on en déduit les variations de $f$.

Un point crucial est l'utilisation du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI). L'élève doit justifier rigoureusement l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha$ à l'équation $f(x)=0$. Cela implique de vérifier trois conditions : la continuité de la fonction, sa stricte monotonie sur l'intervalle donné, et le fait que 0 soit compris entre les images des bornes. La détermination du signe de $f(x)$ se fait ensuite par simple lecture du tableau de variations par rapport à cette valeur $\alpha$.

2. Application économique et optimisation

La seconde partie modélise un bénéfice $B(x)$. La difficulté conceptuelle disparaît si l'élève remarque le lien direct entre les deux parties : la dérivée de la fonction bénéfice $B'(x)$ est exactement la fonction auxiliaire $f(x)$ étudiée précédemment. C'est une structure très fréquente dans les sujets de Bac.

Pour réussir cette partie, il faut :

• Savoir interpréter $f(x)$ comme la dérivée de $B$.
• Utiliser le signe de $f(x)$ (trouvé en partie 1) pour déterminer les variations de $B$.
• Identifier le maximum de la fonction, qui correspond à la valeur pour laquelle la dérivée s'annule en changeant de signe (ici pour $x = \alpha$).

Enfin, l'exercice demande des arrondis précis (au millier d'euros, à l'euro près). Une attention particulière doit être portée à la conversion des unités (milliers de litres, milliers d'euros) pour éviter les erreurs d'ordre de grandeur dans la réponse finale.