Analyse de l'Exercice 3 : Suites, Python et Récurrence - Bac Métropole 2023 (Sujet 2)

Cet exercice est un classique des épreuves du Baccalauréat, combinant l'étude analytique d'une suite numérique définie par récurrence avec une application informatique via le langage Python. Il permet d'évaluer la capacité des élèves à manipuler des expressions algébriques, à raisonner par récurrence et à interpréter des algorithmes simples.

Structure de l'exercice

Le problème s'articule autour d'une suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_1$ et une relation de récurrence faisant intervenir la constante d'Euler $\text{e}$. L'exercice est divisé en quatre parties progressives :

• Calculs préliminaires : Une entrée en matière pour se familiariser avec la suite en calculant les premiers termes exacts.
• Algorithmique : La traduction de la définition mathématique de la suite en une fonction Python.
• Étude du sens de variation et convergence : L'utilisation d'inégalités pour déterminer la décroissance de la suite et l'application du théorème de convergence monotone.
• Formule explicite et limite : La démonstration d'une forme close de la suite par récurrence, suivie d'un calcul de limite utilisant les croissances comparées.

Compétences et clés de réussite

1. Maîtrise du langage Python

La question sur le code Python demande de comprendre la structure d'une boucle for et l'affectation de variables. La clé est de savoir traduire la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ en langage informatique. Il est crucial de bien identifier la valeur d'initialisation (correspondant à $u_1$) et l'expression de mise à jour de la variable u à l'intérieur de la boucle.

2. Manipulation des inégalités

Pour démontrer la décroissance de la suite, l'exercice suggère d'abord de valider une inégalité ($1 + 1/n \leqslant \text{e}$). La réussite de cette étape repose souvent sur l'étude du rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Si ce rapport est inférieur à 1 (pour une suite à termes positifs), la suite est décroissante. Il faut être rigoureux dans la justification des signes.

3. Le raisonnement par récurrence

La démonstration de la formule explicite $u_n = \frac{n}{\text{e}^n}$ requiert une structure rigoureuse :

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang $n=1$.
• Hérédité : Supposer la propriété vraie au rang $k$ et démontrer qu'elle l'est au rang $k+1$. C'est ici qu'il faut habilement combiner l'hypothèse de récurrence avec la définition initiale de la suite.
• Conclusion : Rappeler que la propriété est vraie pour tout entier naturel non nul.

4. Calcul de limites et croissances comparées

La dernière question fait appel aux limites usuelles. L'expression $\frac{n}{\text{e}^n}$ présente une forme indéterminée de type $\infty / \infty$. Pour lever cette indétermination, l'élève doit reconnaître une forme liée aux croissances comparées entre les fonctions puissance et exponentielle. Savoir que l'exponentielle l'emporte sur la puissance en l'infini est indispensable pour conclure correctement.

En résumé, cet exercice demande une bonne polyvalence : il faut être à l'aise aussi bien avec la syntaxe informatique qu'avec la rigueur des démonstrations mathématiques formelles.