Analyse du Sujet Bac 2023 Amérique du Nord Sujet 2 - Exercice 1

L'exercice 1 du sujet 2 du Baccalauréat de mathématiques 2023 pour la zone Amérique du Nord propose une étude classique et structurée d'une fonction exponentielle. Ce type d'exercice, pondéré significativement, permet d'évaluer la capacité des élèves à passer d'une interprétation graphique à une analyse algébrique rigoureuse.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :

• Lecture graphique et interprétation : La Partie A demande de déduire les propriétés de la fonction $f$ (variations, convexité) uniquement à partir de la courbe de sa dérivée $f'$. C'est un point de vigilance majeur : il ne faut pas confondre les variations de $f'$ avec celles de $f$, mais bien lier le signe de $f'$ aux variations de $f$. De même, la convexité de $f$ s'analyse via les variations de $f'$.
• Calcul de limites et croissances comparées : Dans la Partie B, l'étude des limites aux bornes de l'ensemble de définition nécessite de reconnaître les formes indéterminées. La maîtrise des croissances comparées (notamment $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$) est indispensable pour lever l'indétermination en $-\infty$.
• Technique de dérivation : L'expression de la fonction est de la forme $u(x) \times v(x)$. L'application correcte de la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ est cruciale pour retrouver le résultat donné dans l'énoncé. Une erreur de signe ou de factorisation par $e^x$ peut bloquer la suite de l'étude.
• Étude du signe et variations : Une fois la dérivée calculée, l'étude de son signe revient ici à étudier le signe d'un polynôme du second degré, car l'exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$. C'est une étape standard mais qui exige de la rigueur dans le calcul du discriminant ou des racines.
• Convexité et dérivée seconde : L'exercice fournit l'expression de $f''(x)$ pour faciliter le travail. L'élève doit savoir que la convexité est déterminée par le signe de la dérivée seconde. Un changement de signe indique un point d'inflexion. La dernière question, demandant de prouver une inégalité sur un intervalle donné, fait appel à la propriété de la courbe située au-dessous ou au-dessus de ses tangentes ou sécantes, ou plus simplement à une étude de fonction auxiliaire implicite liée à la convexité.

En résumé, cet exercice balaye le spectre complet de l'analyse fonctionnelle au lycée : du graphique à l'algébrique, en passant par la dérivation et la convexité. La clé est de rester cohérent entre les résultats graphiques de la partie A et les calculs de la partie B.