Analyse de l'exercice : Géométrie dans l'espace

Cet exercice de géométrie dans l'espace, issu du sujet 1 des Centres Étrangers (Groupe 2) 2023, est un classique du Baccalauréat. Il balaye l'ensemble des notions fondamentales du chapitre, allant de la caractérisation vectorielle d'un plan aux calculs de distances, en passant par les intersections géométriques.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire techniques :

• Caractérisation d'un plan : Savoir démontrer que trois points définissent un plan en vérifiant que les vecteurs formés par ces points ne sont pas colinéaires.
• Vecteur normal et produit scalaire : Utiliser le produit scalaire pour prouver qu'un vecteur est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan, le qualifiant ainsi de vecteur normal.
• Équation cartésienne : Être capable de déterminer l'équation cartésienne d'un plan de la forme ax + by + cz + d = 0 à partir d'un vecteur normal et des coordonnées d'un point appartenant au plan.
• Représentation paramétrique : Construire le système d'équations paramétriques d'une droite définie par un point et un vecteur directeur (ici, le vecteur normal au plan puisque la droite est orthogonale à ce dernier).
• Intersection Droite / Plan : Résoudre un système mêlant l'équation cartésienne du plan et la représentation paramétrique de la droite. Cette étape consiste généralement à injecter les expressions de x(t), y(t) et z(t) dans l'équation du plan pour trouver la valeur du paramètre t correspondante au point d'intersection (le projeté orthogonal).
• Calculs de distance : Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé en utilisant la norme du vecteur les reliant. La dernière question demande une réflexion supplémentaire sur la position des points sur une droite paramétrée pour satisfaire une condition de distance spécifique.

Cet exercice est structuré de manière progressive, guidant l'élève depuis les définitions de base vers des calculs de coordonnées plus précis. Une rédaction rigoureuse, notamment sur la justification de l'orthogonalité et l'unicité du point d'intersection, est indispensable pour obtenir la totalité des points.