Analyse de l'exercice : Suites, Algorithmique et Récurrence

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Amérique du Sud, Sujet 2, session 2023) propose une étude classique mais complète des suites numériques, couplée à une application algorithmique en Python. Il mobilise plusieurs concepts clés du programme de Terminale, nécessitant une bonne maîtrise du calcul algébrique et du raisonnement logique.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les candidats doivent maîtriser les points suivants :

• Calcul des premiers termes : Savoir utiliser une relation de récurrence du type $u_{n+1} = f(u_n, n)$ sans se tromper dans les indices.
• Algorithmique et langage Python :
  • Comprendre la structure d'une boucle for et l'accumulation de valeurs dans une variable.
  • Interpréter la manipulation de listes avec la méthode .append() pour stocker les termes d'une suite.
• Raisonnement par récurrence : C'est le cœur de l'analyse mathématique ici. Il s'agit de démontrer une inégalité ($u_n \geqslant 2n$). La rigueur dans la rédaction des trois étapes (initialisation, hérédité, conclusion) est indispensable, notamment lors de la manipulation des inégalités pour passer du rang $n$ au rang $n+1$.
• Étude de limites : Utiliser les théorèmes de comparaison. Ici, la minoration par une suite tendant vers l'infini permet de conclure sur la divergence de la suite principale.
• Suites auxiliaires : L'exercice introduit une suite $(v_n)$ pour simplifier l'étude. Il faut savoir :
  • Démontrer qu'une suite est géométrique en calculant le rapport $v_{n+1}/v_n$ ou en factorisant l'expression de $v_{n+1}$.
  • Utiliser la formule explicite d'une suite géométrique ($v_n = v_0 \times q^n$) pour remonter à l'expression de la suite initiale $(u_n)$.

Ce sujet est un excellent entraînement pour vérifier sa capacité à lier l'aspect théorique (démonstrations) et l'aspect pratique (programmation), tout en gérant des suites dont la relation de récurrence dépend explicitement de $n$.