Analyse de l'Exercice 1 : Suites, Récurrence et Modélisation - Asie Sujet 1 (2023)

Cet exercice du Baccalauréat de Mathématiques, session 2023 pour la zone Asie (Sujet 1), est un classique incontournable du programme de Terminale. Il aborde l'étude complète d'une suite numérique définie par récurrence, couplée à une interprétation algorithmique en Python et une application concrète via une modélisation mathématique.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les candidats doivent maîtriser plusieurs notions fondamentales relatives aux suites numériques :

• Calcul de termes et conjecture : La première étape consiste souvent à manipuler les premiers termes de la suite pour intuiter son comportement global (sens de variation). C'est une étape simple mais qui permet de valider mentalement les résultats théoriques ultérieurs.
• Le Raisonnement par Récurrence : C'est le cœur de la partie A. L'exercice demande de démontrer une double inégalité pour tout entier naturel $n$. La rigueur est ici primordiale : il faut clairement identifier la propriété $P(n)$, vérifier l'initialisation, rédiger soigneusement l'hérédité en manipulant les inégalités, et conclure proprement. Dans ce cas précis, la récurrence sert à prouver que la suite est bornée et croissante.
• Théorème de convergence monotone : Une fois la croissance et la majoration établies par récurrence, l'élève doit invoquer le théorème de la convergence monotone pour affirmer l'existence d'une limite finie.
• Calcul de la limite : Pour trouver la valeur exacte de la limite, il faut résoudre l'équation du point fixe $L = f(L)$, en justifiant la continuité de la fonction associée. C'est une compétence technique standard pour les suites de type $u_{n+1} = f(u_n)$.
• Algorithmique (Python) : La question sur le code Python teste la capacité à comprendre une boucle while. Il s'agit d'un algorithme de seuil : on cherche le premier rang $n$ pour lequel la suite dépasse une certaine valeur. Il faut savoir exécuter l'algorithme pas à pas ou comprendre sa logique globale pour répondre.

Modélisation et lien avec la réalité

La Partie B propose une mise en situation concrète (gestion d'un verger). La clé de la réussite réside ici dans la capacité à traduire l'énoncé en langage mathématique. L'élève doit reconnaître que le processus de vente de 10% des arbres et de replantation de 60 nouveaux correspond exactement à la relation de récurrence étudiée dans la Partie A. Une fois ce lien établi, la réponse au problème (savoir si l'arboriculteur manquera de place) découle directement de la limite calculée précédemment. Cette partie valorise l'esprit critique et l'interprétation des résultats mathématiques.