Analyse globale de l'exercice

Cet exercice de mathématiques du Baccalauréat 2023 (Amérique du Sud, Sujet 1) propose une étude classique et structurée autour des suites numériques. Il est divisé en deux parties distinctes mais interconnectées : une étude théorique d'une suite définie par récurrence (Partie A) et une application concrète à travers un modèle d'évolution de population (Partie B). Ce type de problème est fréquent au baccalauréat car il permet d'évaluer la capacité des élèves à manipuler des concepts abstraits puis à les appliquer dans un contexte de modélisation.

Compétences et clés de réussite

1. Étude de fonction et suite associée

La première étape consiste à analyser la fonction $f$ qui génère la suite ($u_{n+1} = f(u_n)$). Une maîtrise parfaite de la dérivation est nécessaire pour étudier les variations de la fonction sur un intervalle donné (ici $[0; 0,5]$). Comprendre le lien entre la croissance de la fonction sur l'intervalle stable et le comportement de la suite est crucial.

2. Le raisonnement par récurrence

C'est un pilier du programme de Terminale. L'élève doit démontrer rigoureusement que la suite est croissante (ou que $u_n \leqslant u_{n+1}$). Les points de vigilance sont :

• La rédaction de l'initialisation.
• L'hérédité : savoir utiliser l'hypothèse de récurrence et la croissance de la fonction $f$ démontrée précédemment pour conclure.

3. Convergence et limites

Pour réussir cette partie, il faut mobiliser le théorème de convergence monotone (toute suite croissante et majorée converge). Ensuite, le calcul de la limite nécessite de résoudre l'équation $f(\ell) = \ell$ (recherche de point fixe), en justifiant la continuité de la fonction $f$. C'est une procédure standard qu'il faut connaître par cœur.

4. Modélisation et suites géométriques

La Partie B applique les résultats précédents au modèle de Verhulst. Deux cas sont étudiés :

• Le cas linéaire ($b=0$) : il faut reconnaître une suite géométrique, exprimer son terme général et calculer sa limite.
• Le cas avec freinage ($b=0,2$) : la difficulté réside dans le changement de variable. L'exercice guide l'élève pour transformer la suite $P_n$ en une suite auxiliaire $v_n$ qui correspond exactement à la suite étudiée en Partie A.

La clé de la réussite réside ici dans la capacité à faire le lien entre les deux parties : les propriétés démontrées pour mathématiquement pour $u_n$ (convergence vers 1/2) s'appliquent directement à $v_n$, ce qui permet de déduire la limite de la population $P_n$.