Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, tiré du sujet 2 des Centres Étrangers Groupe 2 de la session 2023, mobilise l'ensemble des connaissances classiques attendues en Terminale sur l'étude des configurations tridimensionnelles. Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser parfaitement la navigation entre les propriétés géométriques et leurs traductions algébriques dans un repère orthonormé.

Dans un premier temps, l'exercice demande de vérifier des propriétés élémentaires : l'alignement de points (via la colinéarité des vecteurs) et la nature d'un triangle. Ici, la démonstration qu'un triangle est rectangle nécessite l'utilisation pertinente du produit scalaire. Une maîtrise fluide du calcul de coordonnées de vecteurs est indispensable pour éviter les erreurs de calcul qui pourraient pénaliser la suite du raisonnement.

Le cœur du problème réside dans la dualité entre l'équation cartésienne d'un plan et la représentation paramétrique d'une droite. L'élève doit savoir :

• Vérifier qu'une équation cartésienne correspond bien à un plan défini par trois points, en testant les coordonnées ou en identifiant un vecteur normal.
• Déterminer la représentation paramétrique d'une droite définie par un point et un vecteur directeur (ici, le vecteur normal au plan pour garantir l'orthogonalité).

Une compétence technique cruciale évaluée ici est la capacité à déterminer le point d'intersection, noté H, entre une droite et un plan. Cela implique la résolution d'un système d'équations en injectant les expressions paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan. C'est une étape charnière qui permet de valider la position du pied de la hauteur issue d'un sommet S.

Enfin, la dernière partie de l'exercice connecte ces notions analytiques à la géométrie métrique et aux calculs de volumes. Il s'agit de calculer des distances (norme d'un vecteur), l'aire d'un disque, et d'en déduire le volume d'un cône. La clé de la réussite réside ici dans la rigueur des calculs et la connaissance des formules de géométrie spatiale (aire du disque, volume du cône : un tiers de l'aire de la base multiplié par la hauteur).