Analyse de l'Exercice 2 : Géométrie dans l'Espace - Polynésie Sujet 2 (2023)

Cet exercice de géométrie dans l'espace est un classique des épreuves de spécialité mathématiques du Baccalauréat. Il mobilise l'ensemble des connaissances vectorielles et analytiques attendues en Terminale, en combinant l'étude de positions relatives (plans et droites) avec un problème d'optimisation de distance.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs concepts fondamentaux de la géométrie repérée :

• Manipulation des vecteurs normaux : La première étape consiste souvent à extraire les vecteurs normaux à partir des équations cartésiennes de plans. C'est la méthode la plus efficace pour déterminer si deux plans sont parallèles ou sécants. Une bonne lecture des coefficients de l'équation $ax + by + cz = d$ est indispensable.
• Intersection de plans et droites paramétriques : L'exercice demande de démontrer qu'une droite donnée par sa représentation paramétrique est l'intersection de deux plans. La méthode la plus sûre est la vérification : il faut injecter les coordonnées paramétriques $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$ de la droite dans les équations cartésiennes des deux plans et s'assurer que les égalités sont vérifiées pour tout réel $t$.
• Appartenance d'un point : Vérifier si un point appartient à un plan ou une droite est une compétence de base. Pour un plan, on teste les coordonnées. Pour une droite, on cherche s'il existe une valeur unique du paramètre $t$ satisfaisant le système.
• Lien entre Géométrie et Analyse (Optimisation) : Une partie intéressante de ce sujet concerne la minimisation de la distance entre un point fixe et une droite. L'exercice guide le candidat pour exprimer le carré de la distance $AM^2$ sous la forme d'un trinôme du second degré en $t$. La maîtrise de l'étude des fonctions polynômes (recherche du sommet de la parabole ou étude de la dérivée) est alors nécessaire pour trouver le minimum.
• Produit scalaire et orthogonalité : Enfin, l'exercice illustre la propriété géométrique du projeté orthogonal. Il s'agit de démontrer, via le produit scalaire, que la distance minimale est atteinte lorsque le vecteur reliant le point extérieur au point de la droite est orthogonal au vecteur directeur de cette droite.

Ce sujet 2 de Polynésie 2023 est un excellent entraînement car il permet de réviser la quasi-totalité du chapitre sur l'espace, en mettant l'accent sur la rigueur des justifications et le passage fluide entre les représentations algébriques et les propriétés géométriques.