Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Amérique du Sud, Sujet 2, 2023) est un classique de l'analyse fonctionnelle, couplé à une application géométrique intéressante liée à la convexité. Il mobilise un large éventail de compétences attendues en Terminale.

1. Analyse de fonction et Calculs de limites

Dans la première partie, l'élève est amené à étudier une fonction composée mêlant logarithme népérien et exponentielle. La première difficulté réside dans le calcul de la limite en $+\infty$. Il faut maîtriser les propriétés de la fonction $\ln$ et de la fonction exponentielle, notamment le comportement de $\text{e}^{-x}$ lorsque $x$ tend vers l'infini. Une bonne compréhension de la composition des limites est nécessaire.

2. Dérivation et Variations

Le calcul de la dérivée demande de la rigueur. La fonction est de la forme $\ln(u) + v$. L'utilisation correcte de la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ est cruciale. L'exercice demande ensuite de manipuler l'expression obtenue pour la mettre sous une forme factorisée ou rationnelle spécifique. L'étude du signe de cette dérivée permet d'établir le tableau de variations.

3. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Une question classique consiste à montrer l'unicité d'une solution $\alpha$ à l'équation $f(x)=1$. Les candidats doivent impérativement citer les hypothèses du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : la continuité, la stricte monotonie sur l'intervalle donné, et le fait que la valeur cible appartienne à l'image de l'intervalle.

4. Convexité et interprétation géométrique

La seconde partie de l'exercice introduit la convexité via la dérivée seconde $f''$. L'analyse du signe de $f''$ permet de conclure sur la convexité de la fonction. Ici, la compétence clé est de savoir lier la convexité à la position relative de la courbe par rapport à ses tangentes (la courbe est au-dessus de ses tangentes si la fonction est convexe) et par rapport à ses cordes.

5. Application géométrique

L'exercice se termine par une étude géométrique d'un quadrilatère formé par des points de la courbe et de la tangente. Il faut savoir calculer des coordonnées de points, utiliser les équations de tangentes et démontrer des propriétés géométriques (comme le parallélisme) à l'aide des coordonnées ou des vecteurs. La relation entre $f(\alpha)$ et $f(-\alpha)$ est une étape calculatoire fine qui teste l'aisance algébrique des candidats.