Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet 1 de Métropole 2023 aborde de manière classique et complète la géométrie dans l'espace, un thème incontournable du programme de spécialité mathématiques. L'objectif est d'étudier des configurations géométriques dans un cube muni d'un repère orthonormé.

Analyse des concepts mathématiques

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences techniques :

• Repérage dans l'espace : Savoir déterminer les coordonnées des sommets d'un cube dans un repère défini par trois arêtes issues d'un même sommet. C'est la base de tout l'exercice.
• Représentation paramétrique : Il est nécessaire de savoir traduire l'appartenance de points à une droite sous la forme d'un système d'équations paramétriques.
• Orthogonalité et Produit Scalaire : Démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan demande de prouver qu'un vecteur directeur de la droite est normal au plan (ou orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan).
• Équations de plans : Le passage d'un vecteur normal à une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$ est une compétence standard.
• Calculs métriques : L'exercice mobilise les formules de la distance entre deux points et la distance d'un point à un plan.
• Calcul de volume : La dernière partie demande de relier les calculs précédents (aire de la base et hauteur) pour déterminer le volume d'un tétraèdre.

Conseils stratégiques

Une lecture attentive de l'énoncé est primordiale. Les questions sont enchaînées logiquement : la démonstration de l'orthogonalité (question 3) justifie souvent que la droite est une hauteur pour le calcul de volume final (question 6). Ne négligez pas la rigueur dans la rédaction, notamment pour justifier que le vecteur normal au plan permet d'établir l'équation cartésienne.

Enfin, pour le calcul de l'aire du triangle équilatéral et du volume, assurez-vous de bien identifier quelle longueur correspond à la hauteur du tétraèdre issue du sommet E.