Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2025, tiré de l'épreuve d'Amérique du Nord (Sujet 1), est un classique incontournable pour les élèves de Terminale en spécialité mathématiques. Il mobilise l'ensemble des savoir-faire fondamentaux sur les suites numériques.

Pour réussir cet exercice, le candidat doit d'abord maîtriser le calcul des premiers termes d'une suite définie par récurrence homographique. La difficulté principale réside souvent dans l'introduction d'une suite auxiliaire $(a_n)$. Il est essentiel de savoir manipuler les expressions algébriques pour démontrer la relation de récurrence de cette nouvelle suite. Ici, l'élève doit prouver une égalité du type $a_{n+1} = 3a_n - 1$, ce qui demande de la rigueur dans la substitution et la simplification des fractions.

Le cœur de l'exercice repose sur le raisonnement par récurrence. L'objectif est de démontrer une inégalité ($a_n \geqslant 3n - 1$). Les candidats doivent soigner la rédaction des trois étapes : initialisation, hérédité et conclusion. Cette inégalité permet ensuite d'utiliser les théorèmes de comparaison pour déterminer la limite de $(a_n)$, puis d'en déduire celle de la suite initiale $(u_n)$ par opérations sur les limites.

Enfin, la dernière partie aborde l'aspect informatique avec un script Python. Il est crucial de comprendre la structure de la boucle while (tant que). L'élève doit être capable d'interpréter le rôle de l'algorithme, qui cherche ici à déterminer le rang à partir duquel la suite s'approche d'une certaine valeur (seuil de précision). C'est une application concrète de la notion de convergence.