Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2025, tiré du Sujet 2 d'Amérique du Nord, propose une approche historique et analytique passionnante : l'approximation du nombre ln(2) via la méthode de Henry Briggs. Pour réussir ce problème, les candidats doivent mobiliser des compétences transversales liant l'analyse des suites numériques, l'étude de fonctions et la programmation Python.

1. Maîtrise des suites récurrentes

La première partie de l'exercice est classique mais exigeante sur la rigueur. L'étude de la suite définie par une relation de récurrence faisant intervenir la racine carrée demande de savoir :

• Calculer les premiers termes pour émettre une conjecture pertinente sur les variations et la limite.
• Mener un raisonnement par récurrence complet pour démontrer une inégalité (ici l'encadrement de la suite). L'hérédité repose sur la croissance de la fonction racine carrée.
• Justifier la convergence en utilisant le théorème de la limite monotone (suite décroissante et minorée).
• Résoudre une équation du type f(x) = x pour identifier la limite exacte de la suite.

2. Lien entre Suites et Logarithme

La seconde partie introduit une suite auxiliaire géométrique. C'est un point clé du programme de Spécialité Mathématiques. Il faut être capable de manipuler les propriétés algébriques du logarithme népérien, notamment la formule $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$, pour démontrer le caractère géométrique de la suite. Cette étape permet d'exprimer le terme général en fonction de n et d'établir le lien fondamental permettant l'approximation de ln(2).

3. Approximation affine et Algorithmique

L'originalité du sujet réside dans l'utilisation de la tangente pour approximer la fonction logarithme au voisinage de 1 (approximation locale affine). Les élèves doivent savoir interpréter graphiquement et analytiquement l'équation de la tangente $y = x - 1$.

Enfin, la modélisation informatique via Python conclut l'exercice. Il s'agit de compléter une fonction implémentant l'algorithme de Briggs. La réussite de cette question dépend de la capacité à traduire les résultats mathématiques précédents (notamment la relation liant ln(2), $u_n$ et $2^n$) en instructions informatiques, en gérant correctement la boucle while et l'accumulateur.