Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet 1 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2025 (Zone Polynésie) est un questionnaire à choix multiples ou de type « Vrai/Faux » qui balaie un large spectre du programme de Terminale. La particularité de cet exercice réside dans l'indépendance des questions et la nécessité de justifier rigoureusement chaque réponse. Une simple affirmation sans démonstration ne rapporte aucun point.

1. Résolution d'équations différentielles linéaires

La première affirmation porte sur une équation différentielle de la forme $y' = ay + b$. Pour réussir cette question, l'élève doit maîtriser la structure des solutions générales de ce type d'équation. Il ne s'agit pas seulement de vérifier si la fonction proposée est solution, mais de s'assurer qu'elle représente l'ensemble des solutions. La compétence clé est l'identification des constantes et la manipulation de la forme $f(x) = k\text{e}^{ax} - \frac{b}{a}$.

2. Dénombrement et Combinatoire

La seconde question aborde le dénombrement dans un contexte de formation d'équipes. Il est crucial ici de distinguer si l'ordre compte ou non. Puisqu'il s'agit de constituer une équipe de volley-ball sans attribution de rôles spécifiques initiaux, l'élève doit identifier l'utilisation des combinaisons (notées $\binom{n}{k}$). Le défi est de calculer correctement le nombre de façons de choisir un sous-groupe de filles et un sous-groupe de garçons, puis d'appliquer le principe multiplicatif pour obtenir le nombre total d'équipes mixtes possibles.

3. Comportement asymptotique des suites

L'analyse de la suite $(v_n)$ demande une bonne compréhension des limites et des théorèmes de comparaison. La présence du terme $\cos(n)$ au dénominateur doit immédiatement évoquer le fait que la fonction cosinus est bornée entre -1 et 1. L'élève ne peut pas calculer la limite directement par algèbre simple ; il doit encadrer le dénominateur pour en déduire le comportement du quotient lorsque $n$ tend vers l'infini. La maîtrise des théorèmes de comparaison (ou d'encadrement) est indispensable pour valider ou réfuter la divergence vers $+\infty$.

4. Géométrie dans l'espace et Produit Scalaire

Cette question de géométrie repérée nécessite une double compétence. D'une part, le calcul analytique du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ à partir des coordonnées des points dans un repère orthonormé ($xx' + yy' + zz'$). D'autre part, l'utilisation de la définition géométrique du produit scalaire faisant intervenir les normes des vecteurs et le cosinus de l'angle $\widehat{BAC}$. C'est en confrontant ces deux méthodes de calcul que l'élève pourra vérifier la valeur de l'angle proposée.

5. Convexité et dérivée seconde

La dernière affirmation teste la capacité à étudier la convexité d'une fonction. Le savoir-faire central est le lien entre la convexité d'une fonction $h$ et le signe de sa dérivée seconde $h''$. L'élève doit étudier le signe de l'expression $x \ln x - 3x$ sur l'intervalle donné. Cela implique de résoudre une inéquation faisant intervenir le logarithme népérien pour déterminer sur quel intervalle la dérivée seconde est positive ou négative.