Analyse de l'Exercice 2 : Géométrie dans l'espace - Bac Métropole 2025 (Sujet 2)

Cet exercice est un grand classique des épreuves du Baccalauréat, portant intégralement sur la géométrie dans l'espace rapportée à un repère orthonormé. Il évalue la capacité des candidats à manipuler des droites, des plans, des vecteurs et des distances dans un environnement 3D. Le sujet est structuré en deux parties : une étude purement géométrique (intersection, orthogonalité, distance) et une partie d'optimisation ou de recherche de configuration géométrique particulière dépendant d'un paramètre.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser plusieurs notions fondamentales du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :

• Représentations paramétriques de droites : Savoir démontrer que deux droites sont sécantes nécessite de résoudre un système d'équations pour trouver un couple de paramètres $(t, s)$ unique. C'est une compétence de base pour étudier la position relative de deux droites dans l'espace.
• Vecteurs normaux et équations de plans : L'exercice demande de prouver qu'un vecteur donné est normal à un plan $(ABC)$. La clé est de vérifier, via le produit scalaire, que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$). Ensuite, le passage du vecteur normal à l'équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$ est une étape incontournable.
• Coplanarité : Démontrer que quatre points ne sont pas coplanaires revient souvent à vérifier qu'un quatrième point ne vérifie pas l'équation du plan formé par les trois autres.
• Projeté orthogonal et distance : La notion de projeté orthogonal est centrale ici. Il faut savoir caractériser le projeté $H$ d'un point $S$ sur un plan par deux conditions : $H$ appartient au plan et le vecteur $\vec{SH}$ est colinéaire au vecteur normal du plan. Cela permet ensuite de déduire la distance minimale entre un point et un plan.
• Géométrie paramétrée : Dans la partie B, l'introduction d'un paramètre $k$ pour définir un point mobile sur un segment demande de l'aisance dans le calcul vectoriel. La recherche d'un triangle rectangle implique l'annulation d'un produit scalaire, menant généralement à la résolution d'une équation du second degré.

Conseils méthodologiques

La rigueur rédactionnelle est primordiale en géométrie. Lorsque vous montrez qu'un vecteur est normal à un plan, écrivez explicitement les calculs des produits scalaires. De même, pour l'existence du triangle rectangle, justifiez bien l'intervalle de validité du paramètre $k$ (ici $k \in [0;1]$). Cet exercice permet de grappiller beaucoup de points si les définitions du cours (vecteur normal, représentation paramétrique) sont parfaitement connues.