Compétences et clés de réussite

Cet exercice 4 du sujet 2 du Baccalauréat 2025 pour l'Amérique du Nord est un problème d'analyse complet qui mobilise de nombreuses compétences centrales du programme de spécialité mathématiques. Il se divise en deux parties classiques : une étude locale et globale d'une fonction mêlant exponentielle et trigonométrie, suivie d'un calcul intégral avancé.

1. Maîtrise du calcul dérivé et étude de variations

La première difficulté réside dans la manipulation de la fonction $f(x) = e^x \sin(x)$. L'élève doit être parfaitement à l'aise avec la dérivation d'un produit $u \times v$. La factorisation par l'exponentielle (toujours positive) permet de ramener l'étude du signe de la dérivée à celle d'une somme de fonctions trigonométriques. Il est essentiel de connaître ses valeurs remarquables et le cercle trigonométrique pour justifier le signe de $\sin(x) + \cos(x)$ sur l'intervalle donné.

2. Convexité et position relative

L'exercice demande de démontrer la convexité de la fonction. Cela requiert soit l'étude du signe de la dérivée seconde $f''$, soit l'étude des variations de la dérivée première $f'$. Une clé de réussite ici est de faire le lien entre la convexité et la position de la courbe par rapport à ses tangentes. La question 2.c est une application directe de cette propriété : si une fonction est convexe, sa courbe est située au-dessus de ses tangentes. Savoir déterminer l'équation d'une tangente $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ est donc un prérequis indispensable.

3. Intégration par parties (IPP) croisée

La Partie B aborde le calcul intégral sous un angle technique intéressant. Plutôt que de calculer une primitive directement (ce qui est difficile ici), l'énoncé guide vers une double intégration par parties. C'est une méthode classique pour les fonctions de la forme $e^x \cos(x)$ ou $e^x \sin(x)$.

L'astuce consiste à écrire deux relations liant les intégrales $I$ et $J$, formant ainsi un système linéaire de deux équations à deux inconnues. La réussite repose sur la rigueur dans l'écriture de la formule d'IPP : $\int u'v = [uv] - \int uv'$. Une erreur de signe est vite arrivée, notamment avec les primitives de sinus et cosinus.

4. Interprétation géométrique et calcul d'aire

Enfin, l'exercice se conclut par un calcul d'aire entre deux courbes. Il faut savoir traduire l'aire du domaine hachuré par l'intégrale de la différence des fonctions : $\int_a^b (f(x) - g(x)) dx$, en s'assurant que $f(x) \geqslant g(x)$ sur l'intervalle considéré (ce qui a été prouvé en partie A via la convexité). Cette question synthétise l'ensemble de l'exercice en utilisant les résultats précédents.