Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2025, tiré du Sujet 2 des Centres Étrangers, propose une application concrète des mathématiques au domaine informatique : le codage en base64. Il est structuré en trois parties indépendantes permettant d'évaluer la maîtrise du dénombrement, de la loi binomiale et de l'algèbre des variables aléatoires.

1. Maîtriser le Dénombrement (Partie A)

La première partie exige une lecture attentive des contraintes pour choisir le bon outil mathématique. Ici, il s'agit de former des « mots » de 4 caractères parmi 64.

• Listes (p-uplets) : Lorsqu'on tire des caractères avec remise (répétition possible) et que l'ordre compte, le nombre de possibilités est de la forme $n^p$. C'est le cas général ici.
• Arrangements : Si l'énoncé impose que les caractères soient « distincts deux à deux », on bascule sur un arrangement ($A_n^p$).
• L'événement contraire : Pour les questions du type « au moins une lettre A », il est crucial de penser systématiquement à l'événement contraire : « aucune lettre A ». Cela simplifie considérablement les calculs.
• Cas exacts : Pour compter les séquences ayant « exactement $k$ fois » un caractère spécifique, il faut combiner le choix des positions de ce caractère (combinaisons) avec le remplissage des autres positions.

2. Modéliser avec la Loi Binomiale (Partie B)

La transition vers les probabilités se fait via une modélisation classique de transmission de données.

• Justification de la loi : Pour obtenir les points, il faut rigoureusement identifier l'épreuve de Bernoulli (succès/échec), la répétition $n$ fois de manière identique et indépendante. Ici, $n=250$ et la probabilité d'erreur $p$ est faible.
• Calculs de probabilités : L'élève doit savoir calculer $P(X=k)$ à l'aide de la formule du cours ou de la calculatrice. L'interprétation d'une probabilité « négligeable » demande de savoir calculer une probabilité cumulée (ici $P(X > 16)$ ou $1 - P(X \leq 16)$).

3. Somme de variables aléatoires indépendantes (Partie C)

Cette dernière partie fait appel aux propriétés de l'espérance et de la variance pour une somme de variables aléatoires $S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4$.

• Espérance : L'espérance est linéaire. $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$, que les variables soient indépendantes ou non.
• Variance : La relation $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ n'est vraie que si les variables sont indépendantes. L'énoncé précise cette indépendance, ce qui est la clé de la justification attendue.

En résumé, cet exercice demande de bien distinguer les situations de comptage (Partie A) des situations probabilistes (Parties B et C), tout en montrant une bonne maîtrise des propriétés algébriques des indicateurs statistiques.