Analyse du Sujet Bac Asie 2025 - Sujet 1 - Exercice 4

Cet exercice, issu de l'épreuve du Baccalauréat général spécialité Mathématiques pour la zone Asie (Sujet 1) en 2025, propose une étude de fonction classique mais complète. Il mobilise un large éventail de compétences analytiques, allant de la simple dérivation à l'étude de la convexité, en passant par le calcul intégral. Le cœur du problème repose sur la fonction définie par $f(x) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$, une structure qui demande une bonne maîtrise des fonctions composées.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les candidats doivent démontrer une maîtrise solide des points suivants :

• Dérivation des fonctions composées : La première partie de l'exercice exige de savoir dériver des expressions de la forme $e^u$. Il est crucial de ne pas oublier le terme $u'$ lors de la dérivation. La relation entre la fonction $g$ et la fonction $f$ sert d'introduction aux primitives.
• Calcul de limites et formes indéterminées : L'étude aux bornes (en 0 et en $+\infty$) nécessite de la rigueur. En 0, l'analyse du dénominateur est essentielle pour déterminer l'asymptote verticale. En $+\infty$, la croissance comparée peut être évoquée, bien que l'expression se simplifie souvent par analyse directe des termes dominants.
• Étude des variations et TVI : Après avoir établi le signe de la dérivée $f'(x)$, il faut dresser le tableau de variations complet. Une question classique d'application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) ou de son corollaire permet de justifier l'unicité d'une solution à l'équation $f(x)=2$. La calculatrice est ici indispensable pour l'approximation numérique.
• Calcul Intégral et Primitives : L'exercice guide l'élève pour reconnaître que $f$ est la dérivée de $g$. Le calcul de l'intégrale $I$ ne nécessite donc pas d'intégration par parties, mais une simple lecture du lien dérivée-primitive établi en début d'énoncé. L'interprétation graphique en termes d'aire sous la courbe est un attendu standard.
• Convexité et changement de variable : La dernière partie aborde la dérivée seconde. La difficulté réside ici dans l'étude du signe d'un polynôme en $\sqrt{x}$. L'astuce proposée par l'énoncé (poser $X = \sqrt{x}$) ramène le problème à l'étude du signe d'un trinôme du second degré, facilitant ainsi la conclusion sur la convexité de la fonction.

En résumé, cet exercice 4 du sujet Asie 1 vérifie la capacité de l'élève à mener une étude de fonction de bout en bout, en liant les concepts algébriques (dérivées) aux interprétations géométriques (tangentes, aires, concavité).