Compétences et clés de réussite

Cet exercice de type « Vrai ou Faux avec justification » est un classique des épreuves du Baccalauréat. Il balaie un large spectre de connaissances liées à la fonction exponentielle et à l'analyse de fonctions. Pour réussir cet exercice, le candidat doit faire preuve d'agilité dans le calcul algébrique et maîtriser les théorèmes fondamentaux de l'analyse.

Les principales difficultés et compétences requises sont les suivantes :

• Manipulation algébrique : La première affirmation demande de transformer une écriture fractionnaire contenant des exponentielles. Il est crucial de savoir passer de $\text{e}^x$ à $\text{e}^{-x}$ et de réduire au même dénominateur sans faire d'erreur de signe.
• Résolution d'équations : L'étude de l'équation $g(x) = k$ nécessite souvent de passer par une étude de fonction (variations) ou une résolution algébrique directe en posant un changement de variable (ex: $X = \text{e}^x$).
• Interprétation géométrique de la dérivée : Pour l'affirmation sur la tangente, il faut se rappeler qu'une tangente est horizontale si la dérivée s'annule, et que l'axe des abscisses a pour équation $y=0$. Il s'agit donc de vérifier si la courbe touche l'axe ($f(x)=0$) et si sa pente est nulle en ce point ($f'(x)=0$).
• Convexité et point d'inflexion : L'affirmation 4 teste la capacité à calculer la dérivée seconde d'une fonction produit. Un point d'inflexion existe si et seulement si la dérivée seconde s'annule en changeant de signe. La rigueur dans le calcul des dérivées successives est ici indispensable.
• Calcul de limites : L'étude du comportement asymptotique demande de lever une forme indéterminée, souvent en factorisant par le terme prépondérant (ici $\text{e}^x$) au numérateur et au dénominateur.
• Inégalités et identités remarquables : La dernière question fait appel au sens de l'observation. Reconnaître une identité remarquable cachée permet souvent de conclure rapidement sur le signe d'une expression.

En résumé, cet exercice ne demande pas seulement de connaître ses formules de dérivation, mais aussi de savoir interpréter graphiquement les résultats et de mener des calculs algébriques rigoureux.